Menyajikan Operasi Himpunan Dalam Diagram Venn
Pengantar
Setelah pada postingansebelumnya kita membahas tentang pengertian himpunan, dan menyajikan hubungan antarhimpunan dengan diagram Venn, maka pada kesempatan ini kita akan membahas tentang menyajikan operasi himpunan dalam diagram Venn, sifat-sifat operasi himpunan, dan penerapannya dalam menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan konsep himpunan.
Jenis-jenis Operasi Himpunan
Di sini kita akan membahas operasi himpunan yang meliputi :
- irisan dua himpunan
- gabungan dua himpunan
- selisih (difference) dua himpunan
- komplemen suatu himpunan
Irisan Himpunan
Perhatikan ilustrasi berikut.
Hasil kuesioner dari sekelompok siswa yang gemar olahraga basket dan sepak bola, tercatat nama Andi, Budi, Candra, dan Doni gemar basket. Selain itu, juga tercatat Eka, Fahmi, Budi, dan Doni gemar sepak bola. Menurut hasil kuesioner di atas, adakah siswa yang gemar kedua jenis olahraga?
Jika disajikan dalam bentuk himpunan, diperoleh himpunan penggemar basket dinotasikan dengan $A=\{\text{Andi, Budi, Candra, Doni}\}$ dan himpunan penggemar sepak bola dinotasikan dengan $B=\{\text{Eka, Fahmi, Budi, Doni}\}$.
Jika kegemaran sekelompok siswa itu digambarkan dengan diagram Venn tampak bahwa Budi dan Doni gemar basket dan sepak bola yang merupakan irisan dari himpunan $A$ dan $B$. Hal itu dapat ditulis $A\cap B=\{\text{Budi, Doni}\}$. Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.
Kesimpulan
Irisan himpunan $A$ dan $B$ adalah himpunan yang anggota-anggotnya merupakan anggota $A$ dan $B$, dinotasikan dengan $A\cap B=\{x|x\in A\ \text{dan}\ x\in B\}$
Contoh.
Diketahui $A=\{1, 2, 3, 4, 5\}$ dan $B=\{4, 5, 6, 7\}$
a. Tentukan $A\cap B$ dengan mendaftar anggotanya.
b. Buatlah diagram Venn dari soal tersebut.
Jawab.
a. $A=\{1, 2, 3, 4, 5\}$ dan $B=\{4, 5, 6, 7\}$
Ada anggota $A$ dan $B$ yang sama, yaitu $4$ dan $5$ maka $A\cap B=\{4, 5\}$
b. Gambar diagram Venn terlihat seperti gambar berikut.
|
| Gambar : Irisan dua himpunan |
Gabungan Dua Himpunan
Perhatikan dua himpunan berikut.
$A=\{\text{bulu tangkis, tenis, basket, voli, sepak bola}\}$
$B=\{\text{sepak bola, karate, pencak silat, gulat, judo}\}$
Jika anggota $A$ dan $B$ digabung, maka akan diperoleh himpunan baru. Himpunan baru tersebut ditulis
$A\cup B=\{\text{bulu tangkis, tenis, basket, voli, sepak bola, karate, pencak silat, gulat, judo}\}$.
Gabungan dua himpunan tersebut dapat dinyatakan dengan diagram Venn seperti gambar berikut.
|
| Gambar : Gabungan dua himpunan |
Kesimpulan
Gabungan himpunan $A$ dan $B$ adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan $A$ atau anggota himpunan $B$, dinotasikan dengan $A\cup B=\{x|x\in A\ \text{atau}\ x\in B\}$
Contoh.
Diketahui $A=\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ dan $B=\{2, 6, 10, 14, 18\}$
a. Tentukan $A\cup B$ dengan mendaftar anggota-anggotanya.
b. Buat diagram Venn
Jawab.
a. \(\begin{array}{rcl}A&=&\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}\\B&=&\{2, 6, 10, 14, 18\}\\A\cup B&=&\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18\}\end{array}\)
b. Diagram Venn tampak seperti gambar berikut.
|
| Gambar : Gabungan dua himpunan |
Selisih (Difference) Dua Himpunan
Perhatikan dua bilangan berikut.
$A=\{\text{bilangan prima kurang dari 15}\}$
$B=\{\text{bilangan ganjil lebih dari 5 dan kurang dari 20}\}$
Adakah bilangan prima yang kurang dari 15, tetapi bukan bilangan ganjil yang lebih dari 5 dan kurang dari 20? Jika dua himpunan tersebut dibuat diagram Venn, akan diperoleh seperti gambar berikut.
|
| Gambar : Selisih dua himpunan |
Bilangan prima yang kurang dari 15 tetapi bukan bilangan ganjil yang lebih dari 5 dan kurang dari 20 adalah bagian yang diarsir pada gambar tersebut. Pada bagian yang diarsir terdapat bilangan 2, 3, dan 5. Bilangan 2, 3, dan 5 merupakan anggota-anggota himpunan $A$, tetapi bukan anggota himpunan $B$. Selanjutnya 2, 3, dan 5 disebut selisih dari himpunan $A$ dan $B$.
Kesimpulan
Selisih himpunan $A$ dan $B$ adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan $A$, tetapi bukan anggota himpunan $B$, dinotasikan dengan $A-B=\{x|x\in A, x\not\in B\}$
Contoh.
Diketahui$A=\{a, b, c, d, e, f\}$ dan $B=\{a, e, i, o, u\}$
a. Tentukan $A-B$ dengan mendaftar anggota-anggotanya.
b. Buat diagram Venn dan arsir $A-B$
Jawab.
$\begin{array}{rcl}a.\ A&=&\{a, b, c, d, e, f\}\\B&=&\{a, e, i, o, u\}\\A-B&=&\{b, c, d, f\}\end{array}$
b. Diagram Venn
|
| Gambar : Selisih dua himpunan |
Komplemen Suatu Himpunan
Perhatikan diagram Venn berikut.
|
| Gambar : Komplemen suatu himpunan |
Diagram Venn tersebut menunjukkan $S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ dan $A=\{1, 3, 5, 7\}$
Adakah himpunan $S$ yang bukan anggota himpunan $A$? Apakah $A\subset S$ ? Anggota-anggota himpunan $S$ yang bukan anggota $A$ disebut komplemen atau pelengkap dari $A$. Komplemen dari $A$ ditulis $A'$ atau $A^c$. Berdasarkan diagram Venn pada gambar di atas diperoleh $A'=A^c=\{2, 4, 6, 8, 9, 10\}$.
Dengan demikian, pengertian komplemen suatu himpunan adalah sebagai berikut.
Kesimpulan
Jika $A$ adalah suatu himpunan dalam $S$ maka anggota himpunan $S$ yang bukan anggota $A$ disebut komplemen $A$ dan ditulis $A'$ atau $A^c$, dinotasikan dengan $A'=A^c=\{x|x\in S\ \text{dan}\ x\not\in A\}$
Contoh.
Misalkan :
$\begin {array}{rcl} S&=&\{\text{himpunan\ nama\ bulan\ dalam\ satu\ tahun}\}\\A&=&\{\text{Januari, Februari, Mei, Juni, Juli}\}\\B&=&\{\text{September, Oktober, November, Desember}\}\end{array}$
Tentukan :
a. $A'$ dengan menyebutkan anggota-anggotanya.
b. $B'$ dengan menyebutkan anggota-anggotanya.
Jawab.
a. Anggota-anggota $S$ yang bukan anggota $A$ adalah Maret, April, Agustus, September, Oktober, November, dan Desember.
Jadi :
$A'=\{\text{Maret, April, Agustus, September, Oktober, November, Desember}\}$
b. Anggota-anggota $S$ yang bukan anggota $B$ adalah Januari, Februari, Maret, April, Mei, Juni, Juli, dan Agustus.
Jadi :
$B'=\{\text{Januari, Februari, Maret, April, Mei, Juni, Juli, Agustus}\}$
Sifat-Sifat Operasi Himpunan
Ada beberapa sifat yang perlu diketahui pada operasi dua atau lebih himpunan. Misalkan diketahui himpunan-himpunan sebagai berikut.
$\begin {array}{rcl} S&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\\A&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\\B&=&\{3, 4, 5, 6\}\\C&=&\{3, 4, 5, 10\}\end{array}$
Dengan menggunakan himpunan-himpunan tersebut, mari kita uji beberapa sifat himpunan.
Sifat Komutatif
Perhatikan operasi himpunan berikut.
$A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$
$B=\{3, 4, 5, 6\}$
$\begin {array}{rcl} A\cup B&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\\B\cup A&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\\A\cap B&=&\{3, 4, 5, 6\}\\B\cap A&=&\{3, 4, 5, 6\}\end{array}$
Catatan
Sifat komutatif irisan yaitu : $A\cap B=B\cap A$
Sifat komutatif gabungan yaitu : $A\cup B=B\cup A$
Sifat Asosiatif
Perhatikan himpunan-himpunan berikut.
$A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$
$B=\{3, 4, 5, 6\}$
$C=\{3, 4, 5, 10\}$
Kemudian kita akan melakukan operasi irisan himpunan-himpunan tersebut.
\(\begin {array}{rcl} A\cap B&=&\{3, 4, 5, 6\}\\B\cap C&=&\{3, 4, 5\}\\(A\cap B)\cap C&=&\{3, 4, 5\}\\A\cap (B\cap C)&=&\{3, 4, 5\}\end{array}\)
Selanjutnya operasi gabungan himpunan-himpunan tersebut, seperti terlihat di bawah ini.
\(\begin {array}{rcl} A\cup B&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\\B\cup C&=&\{3, 4, 5, 6, 10\}\\(A\cup B)\cup C&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\\A\cup (B\cup C)&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\end{array}\)
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Kesimpulan
Untuk sembarang himpunan $A, B\ \text{dan}\ C$ berlaku sifat berikut :
\(\begin{array}{rcl}(A\cap B)\cap C&=&A\cap (B\cap C)\\(A\cup B)\cup C&=&A\cup (B\cup C)\end{array}\)
Sifat Distributif
Perhatikan himpunan-himpunan berikut.
$A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$
$B=\{3, 4, 5, 6\}$
$C=\{3, 4, 5, 10\}$
Kemudian kita akan melakukan operasi irisan dan gabungan himpunan-himpunan tersebut.
\(\begin {array}{rcl} A\cap B&=&\{3, 4, 5, 6\}\\A\cap C&=&\{3, 4, 5\}\\(A\cap B)\cup (A\cap C)&=&\{3, 4, 5, 6\}\end{array}\)
\(\begin {array}{rcl} B\cup C&=&\{3, 4, 5, 6, 10\}\\A\cap (B\cup C)&=&\{3, 4, 5, 6\}\end{array}\)
\(\begin {array}{rcl} B\cap C&=&\{3, 4, 5\}\\A\cup (B\cap C)&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\end{array}\)
\(\begin {array}{rcl} A\cup C&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\\(A\cup B)\cap (A\cup C)&=&\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\end{array}\)
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Kesimpulan
Untuk sembarang himpunan $A, B, \text{dan}\ C$ berlaku sifat berikut :
\(\begin{array}{rcl}A\cap (B\cup C)&=&(A\cap B)\cup (A\cap B)\\A\cup (B\cap C)&=&(A\cup B)\cap (A\cup B)\end{array}\)
Penerapan Himpunan
Untuk menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan konsep himpunan, akan lebih mudah jika memanfaatkan diagram Venn dalam menyelesaikannya. Perhatikan contoh-contoh berikut.
1. Jumlah siswa kelas VIIA 32 orang, 20 orang diantaranya menyukai pelajaran matematika dan 14 orang menyukai bahasa Inggris.
a. Buat diagram Venn dari permasalahan tersebut.
b. Berapa siswa yang menyukai pelajaran matematika dan bahasa Inggris?
2. Dalam sebuah kelas terdapat 17 siswa yang mengikuti ekstra kurikuler rohis, 15 siswa mengikuti PMR, dan 8 siswa mengikuti keduanya.
a. Buat diagram Venn dari permasalah tersebut.
b. Berapa jumlah siswa seluruhnya?
3. Dalam seleksi siswa penerima beasiswa, setiap siswa harus lulus dalam tes matematika dan bahasa. Dari 180 peserta terdapat 103 orang dinyatakan lulus tes matematika dan 142 orang dinyatakan lulus tes bahasa.
a. Buat diagram Venn dari permasalahan tersebut.
b. Berapa banyak siswa yang dinyatakan lulus sebagai penerima beasiswa?
4. Dari 80 orang siswa yang disurvei tentang kegemaran menonton olahraga di televisi, diperoleh data 48 orang gemar menonton voli, 42 orang gemar menonton basket dan 10 orang tidak gemar menonton acara tersebut. Banyak siswa yang gemar menonton voli dan basket adalah ...
Jawab.
1. a. Diagram Venn
b. Misal siswa yang menyukai pelajaran matematika dan bahasa Inggris adalah $x$, maka :
\(\begin{array}{rcl}(20-x)+x+14-x&=&32\\20-x+x+14-x&=&32\\20+14-x&=&32\\34-x&=&32\\x&=&34-32\\x&=&2\end{array}\)
Jadi, siswa yang menyukai pelajaran matematika dan bahasa Inggris ada 2 orang.
2. a. Diagram Venn
b. Misal :
$R=\{\text{siswa yang mengikuti rohis}\}$, $n(R)=17$
$P=\{\text{siswa yang mengikuti PMR}\}$, $n(P)=15$
$R\cap P=\{\text{siswa yang mengikuti rohis dan PMR}\}$, $n(R\cap P)=8$
Banyak siswa di kelas itu adalah :
\(\begin{array}{rcl}n(R\cup P)&=&n(R)+n(P)-n(R\cap P)\\&=&17+15-8\\&=&24\end{array}\)
3. a. Diagram Venn
b. Misal :
$M=\{\text{siswa yang lulus matematika}\}$, $n(M)=103$
$B=\{\text{siswa yang lulus bahasa}\}$, $n(B)=142$
$S=\{\text{peserta tes}\}$, $n(S)=180$
$M\cap B=\{\text{siswa yang lulus seleksi}\}$, $n(M\cap B)=x$
Perhatikan diagram Venn dia atas.
\(\begin{array}{rcl}n(S)&=&(103-x)+(x)+(142-x)\\180&=&103+142-x\\180&=&245-x\\x&=&245-180\\x&=&65\end{array}\)
Jadi $M\cap B=x=65$
artinya banyak siswa penerima beasiswa adalah 65 orang.
Cara lain :
$n(S)=n(M\cup B)$
\(\begin{array}{rcl}n(S)&=&n(M)+n(B)-n(M\cap B)\\180&=&103+142-n(M\cap B)\\180&=&245-n(M\cap B)\\n(M\cap B)&=&245-180\\&=&65\end{array}\)
4. Misal :
$V=\{\text{gemar menonton voli}\}$, $n(V)=48$
$B=\{\text{gemar menonton basket}\}$, $n(B)=42$
$V'\cap B'=\{\text{tidak gemar menonton voli dan basket}\}$, $n(V'\cap B'=10$
Maka :
\(\begin{array}{rcl}n(V\cup B)&=&n(V)+n(B)-n(V\cap B)+n(V'\cap B')\\80&=&48+42-n(V\cap B)+10\\80&=&100-n(V\cap B)\\n(V\cap B)&=&100-80\\n(V\cap B)&=&20\end{array}\)</
Jadi banyaknya siswa yang gemar menonton voli dan basket adalah 20 orang.
Evaluasi
Setelah mempelajari materi tentang operasi himpunan, sifat-sifat operasi himpunan, dan penerapan himpunan dalam menyelesaikan masalah sehari-hari, sekarang kita akan melakukan evaluasi untuk mengukur pemahaman terhadap materi tersebut. Silakan kerjakan kuis berikut dengan mengklik tombol di bawah ini.
Penutup
Demikian artikel tentang materi himpunan pada submateri menyajikan operasi himpunan dalam diagram Venn, serta sifat-sifat operasi himpunan, dan penerapan konsep himpunan dalam menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan konsep himpunan. Semoga bermanfaat. Terima kasih.
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
Posting Komentar
image quote pre code