Persamaan Kuadrat


Persamaan Kuadrat dapat diselesaikan dengan tiga cara yaitu pemfaktoran, melengkapi kuadrat sempurna dan rumus abc

Pengantar

Perhatikan permasalahan berikut. Di suatu rumah, sebuah kamar mandi ditutup dengan keramik agar terlihat lebih indah dan bersih. Dinding kamar mandi tersebut berbentuk persegi panjang yang akan ditutup dengan keramik persegi. Panjang dinding adalah 5 keramik lebihnya dari lebar dinding. Jika keramik yang diperlukan untuk menutup dinding kamar mandi tersebut 300 keramik, tentukan panjang dinding tersebut (luas satu buah keramik dianggap 1 satuan ).

Pengertian Persamaan Kuadrat

persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang mengandung variabel dengan pangkat tertinggi dua. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah \(ax^2 + bx + c = 0\), di mana \( a, b, c\) bilangan real, \(a\) adalah koefisien \(x^2\) , \(b\) adalah koefisien \(x\) dan \(c\) adalah konstanta serta \(a\neq 0\) . 

Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat

Perhatikan contoh-contoh berikut ini.
1. \(2x^2-6x+5=0\)
2. \(x^2-4=0\)
3. \(x^2-9x=0\)
Persamaan \(2x^2-6x+5=0\) adalah persamaan kuadrat dengan \(a=2, b=-6\), dan \(c=5\). Jika dibandingkan dengan bentuk umum persamaan kuadrat maka persamaan ini disebut persamaan kuadrat asli karena semua unsurnya ada, yaitu \(a, b, c\) tidak sama dengan nol.
Persamaan \(x^2-4=0\) adalah persamaan kuadrat dengan\(a=1, b=0, c=-4\). Jika dibandingkan dengan bentuk persamaan kuadrat maka persamaan ini disebut persamaan kuadrat murni karena stidak mempunyai suku \(x(b=0)\).
Persamaan \(x^2-9x=0\) adalah persamaan kuadrat dengan \(a=1, b=-9, c=0\). Jika dibandingkan dengan bentuk umum persamaan kuadrat maka persamaan ini disebut persamaan kuadrat tak lengkap karena konstanta pada persamaan itu adalah 0 (c=0).
Selain bentuk persamaan kuadrat di atas, ada beberapa persamaan kuadrat yang tidak disajikan dalam bentuk umum, misalanya : \[1.\ x^2+7x=-10\] \[2.\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{3}{2}\]
Persamaan kuadrat tersebut dapat diubah ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat dengan operasi alajabar tertentu.
Contoh.
Nyatakan persamaan \(2x^2=3x+20\) ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat, kemudian tentukan nilai \(a, b,\text {dan}\ c\).
Klik tombol Show all untuk melihat jawaban.
Jawab :

\(\begin{array}{rcl} 2x^2&= &3x+20 \\ 2x^2-3x&= &3x-3x+20\ (\text{kedua\ ruas\ dikurangi\ 3\(x\))} \\ 2x^2-3x &= &20 \\2x^2-3x-20&= &20-20\ (\text {kedua\ ruas\ dikurangi\ 20)}\\2x^2-3x-20&=&0 \end{array}\)
Jadi nilai \(a=2, b=-3, c=-20\)

Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat

Perhatikan kembali bentuk umum persamaan kuadrat. Nilai pengganti \(x\) yang menyebabkan pernyataan menjadi benar (ruas kiri sama dengan ruas kanan) disebut akar atau penyelesaian dari persamaan tersebut. Ada tiga cara untuk mencari akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat, yaitu dengan cara :

Faktorisasi

Faktorisasi adalah mengubah penjumlahan suku-suku aljabar ini menjadi bentuk perkalian. Metode ini digunakan dengan cara mengubah bentuk persamaan kuadrat.
Contoh.
1. Tentukan akar-akar persamaan \(4x^2-25=0\)
Jawab
\(\begin{array}{rcl} 4x^2-25& = & 0 \\ (2x)^2-5^2& = & 0 \\ (2x-5)(2x+5) & = & 0 \\2x-5& = & 0\ \text{atau}\ 2x+5=0\\2x&=&0\ \text{atau}\ 2x=-5\\x&=&\dfrac{5}{2}\ \text{atau}\ x=-\dfrac{5}{2} \end{array}\)
Jadi, akar-akar persamaan \(4x^2-25=0\) adalah \(x=\dfrac{5}{2}\) atau \(x=-\dfrac{5}{2}\).
2. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(3x^2-7x=0\)
Jawab
\(\begin{array}{rcl} 3x^2-7x& = & 0 \\ x (3x-7)& = & 0 \\ x & = & 0\ \text{atau}\ 3x - 7=0 \\x& = & 0\ \text{atau}\ 3x = 7\\x&=&0\ \text{atau}\ x=\dfrac{7}{3} \end{array}\)
Jadi himpunan penyelesaian dari persamaan \(3x^2-7x=0\) adalah {0, \(\dfrac{7}{3}\)}
3. Tentukan akar-akar persamaan \(x^2-7x+10=0\)
Jawab
Untuk menentukan akar-akar persamaan \(x^2-7x+10=0\), terlebih dahulu dicari dua bilangan yang jumlahnya -7 dan hasil kalinya 10. Kedua bilangan itu adalah -5 dan -2, sehingga diperoleh.
\(\begin{array}{rcl} x^2-7x+10& = & 0 \\ (x-5)(x-2)& = & 0 \\ x -5& = & 0\ \text{atau}\ x - 2=0 \\x& = & 5\ \text{atau}\ x = 2\end{array}\)
Jadi, akar-akar persamaan \(x^2-7x+10=0\) adalah \(x=5\ \text{atau}\ x=2\).

Kuadrat Sempurna

Tidak semua persamaan kuadrat bisa diselesaikan dengan cara faktorisasi, cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Melengkapkan kuadrat sempurna adalah metode dengan mengubah bentuk umum menjadi bentuk kuadrat sempurna. Untuk dapat menentukan persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
  1. Pastikan bahwa koefisien \(x^2\) adalah 1. Jika koefisien \(x^2\neq1\), buatlah koefisiennya menjadi 1 dengan cara membagi kedua ruas persamaan dengan koefisien dari \(x^2\).
  2. Jika perlu, tambah/kurangkan kedua ruas dengan suatu bilangan agar konstanta hanya di ruas sebelah kanan.
  3. Melengkapkan kuadrat : menambah kedua ruas dengan kuadrat dari setengah nilai koefisien x.
  4. Faktorkan persamaan kuadrat.
  5. Selesaikan dengan menggunakan aturan akar kuadrat.
Contoh.
Dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan \(x^2-6x+8=0\)
Jawab.
\(x^2-6x+8=0 \iff x^2-6x=-8\)
Agar bentuk \(x^2-6x\) menjadi bentuk kuadrat sempurna, kedua ruas harus ditambahkan dengan kuadrat setengah koefisien \(x\), yaitu \((\dfrac{1}{2}(-6))^2=9\), sehingga persamaan menjadi berikut.
\(\begin{array}{rcl} x^2-6x& = & -8 \\ x^2-6x+9& = & -8+9 \\ (x-3)^2 & = & 1 \\x-3& = & \pm \sqrt{1}\\x-3&=&\pm 1\\ x-3&=&1\ \text{atau}\ x-3=-1\\x&=&4\ \text{atau}\ x=2 \end{array}\)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,4}

Rumus Kuadrat

Selain menggunakan faktorisasi dan dengan melengkapi kuadrat sempurna, persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus kuadrat atau biasa dikenal dengan rumus abc yaitu : \[x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Darimana rumus tersebut berasal? Perhatikan uraian berikut.
\(\begin{array}{rcl}ax^2+bx+c&=&0\\ax^2+bx&=&-c\\x^2+\dfrac{b}{a}x&=&-\dfrac{c}{a}\end{array}\)
Kedua ruas ditambah dengan (\(\dfrac{1}{2}\times \dfrac{b}{a})^2\) sehingga diperoleh :

\(\begin{array}{rcl}x^2+\dfrac{b}{a}x+(\dfrac{b}{2a})^2&=&-\dfrac{c}{a}+(\dfrac{b}{2a}^2\\[12pt](\dfrac{b}{2a})^2&=&\dfrac{-c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}\\[12pt](x+\dfrac{b}{2a})^2&=&\dfrac{-4ac}{4a^2}+\dfrac{b^2}{4a^2}\\[12pt](x+\dfrac{b}{2a})^2&=&\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\\[12pt](x+\dfrac{b}{2a})&=&\pm \sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\\[12pt]x&=&-\dfrac{b}{2a}\pm \sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\\[12pt]x&=&\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}\)

Nilai \(b^2-4ac\) disebut nilai diskriminan yang diberi simbol D. Perhatikan contoh soal berikut.
Contoh.
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(x^2-x-6=0\) dengan menggunakan rumus kuadrat.
Jawab.
Dari persamaan kuadrat \(x^2-x-6=0\), diperoleh \(a=1, b=-1, c=-6\). Sehingga akar-akar persamaan \(x^2-x-6=0\) adalah :
\[\begin{array}{rcl}x&=&\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[12pt]x&=&\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4(1)(-6)}}{2(1)}\\[12pt]x&=&\dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}\\[12pt]x&=&\dfrac{1\pm\sqrt{25}}{2}\\[12pt]x&=&\dfrac{1\pm5}{2}\\[12pt]x_1&=&\dfrac{1+5}{2}\\[21pt]x_1&=&3\\[12pt]x_2&=&\dfrac{1-5}{2}\\[12pt]x_2&=&-2 \end{array}\]

Sebagai referensi tambahan, silakan simak video berikut :


Evaluasi

Saatnya kita melakukan evaluasi terhadap materi persamaan kuadrat yang telah dipelajari. Silakan kerjakan soal berikut ini dengan cara :
1. Klik tombol Start Quiz
2. Klik pada tombol jawaban yang benar.
3. Klik Next untuk berpindah ke soal berikutnya.
4. Klik Prev untuk kembali ke soal sebelumnya.
5. Klik Reset untuk memulai kembali.
6. Jika sudah selesai mengerjakan semua soal dan akan mengirim jawabannya, klik tombol Submit. 
7. Lihat perolehan skor yang tercantum di bagian bawah soal.
8. Nilai yang diperoleh adalah jumlah skor dibagi skor maksimal dikalikan 100.

Penutup

Demikian artikel tentang materi persamaan kuadrat yang diajarkan di kelas IX SMP/MTs pada semester 1 ini. Apabila ada kesalahan silakan koreksi, dan jika ada masukan silakan tuliskan di kolom komentar. Semoga bermanfaat. Terima kasih.

Mau donasi lewat mana?

Paypal
Bank Rakyat Indonesia - An. Aan Triono / Rek : 0357-01-132169-50-3
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi sedikit donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
https://blog.choipanwendy.com