Persamaan Kuadrat
Pengantar
Perhatikan permasalahan berikut. Di suatu rumah, sebuah kamar mandi
ditutup dengan keramik agar terlihat lebih indah dan bersih. Dinding kamar
mandi tersebut berbentuk persegi panjang yang akan ditutup dengan keramik
persegi. Panjang dinding adalah 5 keramik lebihnya dari lebar dinding.
Jika keramik yang diperlukan untuk menutup dinding kamar mandi tersebut
300 keramik, tentukan panjang dinding tersebut (luas satu buah keramik dianggap 1 satuan ).
Pengertian Persamaan Kuadrat
persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang mengandung variabel dengan
pangkat tertinggi dua. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah \(ax^2 + bx + c = 0\), di mana \(
a, b, c\) bilangan real, \(a\) adalah koefisien \(x^2\) , \(b\) adalah
koefisien \(x\) dan \(c\) adalah konstanta serta \(a\neq 0\)
.
Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat
Perhatikan contoh-contoh berikut ini.
1. \(2x^2-6x+5=0\)
2. \(x^2-4=0\)
3. \(x^2-9x=0\)
Persamaan \(2x^2-6x+5=0\) adalah persamaan kuadrat dengan \(a=2, b=-6\), dan
\(c=5\). Jika dibandingkan dengan bentuk umum persamaan kuadrat maka persamaan
ini disebut persamaan kuadrat asli karena semua unsurnya ada,
yaitu \(a, b, c\) tidak sama dengan nol.
Persamaan \(x^2-4=0\) adalah persamaan kuadrat dengan \(a=1, b=0, c=-4\). Jika
dibandingkan dengan bentuk persamaan kuadrat maka persamaan ini disebut
persamaan kuadrat murni karena stidak mempunyai suku \(x(b=0)\).
Persamaan \(x^2-9x=0\) adalah persamaan kuadrat dengan \(a=1, b=-9, c=0\).
Jika dibandingkan dengan bentuk umum persamaan kuadrat maka persamaan ini
disebut
persamaan kuadrat tak lengkap karena konstanta pada persamaan
itu adalah 0 (c=0).
Selain bentuk persamaan kuadrat di atas, ada beberapa persamaan kuadrat yang
tidak disajikan dalam bentuk umum, misalanya : \[1.\ x^2+7x=-10\] \[2.\
\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{3}{2}\]
Persamaan kuadrat tersebut dapat diubah ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat
dengan operasi alajabar tertentu.
Contoh.
Nyatakan persamaan \(2x^2=3x+20\) ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat,
kemudian tentukan nilai \(a, b,\text {dan}\ c\).
Klik tombol Show all untuk melihat jawaban.
Klik tombol Show all untuk melihat jawaban.
Jawab :
\(\begin{array}{rcl} 2x^2&= &3x+20 \\ 2x^2-3x&=
&3x-3x+20\ (\text{kedua\ ruas\ dikurangi\ 3\(x\))} \\ 2x^2-3x &=
&20 \\2x^2-3x-20&= &20-20\ (\text {kedua\ ruas\ dikurangi\
20)}\\2x^2-3x-20&=&0 \end{array}\)
Jadi nilai \(a=2, b=-3, c=-20\)
Jadi nilai \(a=2, b=-3, c=-20\)
Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat
Perhatikan kembali bentuk umum persamaan kuadrat. Nilai pengganti \(x\) yang menyebabkan pernyataan menjadi benar (ruas kiri sama dengan ruas kanan) disebut akar atau penyelesaian dari persamaan tersebut. Ada tiga cara untuk mencari akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat, yaitu dengan cara :Faktorisasi
Faktorisasi adalah mengubah penjumlahan suku-suku aljabar ini menjadi
bentuk perkalian. Metode ini digunakan dengan cara mengubah bentuk persamaan
kuadrat.
Contoh.
1. Tentukan akar-akar persamaan \(4x^2-25=0\)
Jawab
\(\begin{array}{rcl} 4x^2-25& = & 0 \\ (2x)^2-5^2& = & 0
\\ (2x-5)(2x+5) & = & 0 \\2x-5& = & 0\ \text{atau}\
2x+5=0\\2x&=&0\ \text{atau}\ 2x=-5\\x&=&\dfrac{5}{2}\
\text{atau}\ x=-\dfrac{5}{2} \end{array}\)
Jadi, akar-akar persamaan \(4x^2-25=0\) adalah \(x=\dfrac{5}{2}\) atau
\(x=-\dfrac{5}{2}\).
2. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan \(3x^2-7x=0\)
Jawab
\(\begin{array}{rcl} 3x^2-7x& = & 0 \\ x (3x-7)& = & 0 \\
x & = & 0\ \text{atau}\ 3x - 7=0 \\x& = & 0\ \text{atau}\
3x = 7\\x&=&0\ \text{atau}\ x=\dfrac{7}{3} \end{array}\)
Jadi himpunan penyelesaian dari persamaan \(3x^2-7x=0\) adalah {0,
\(\dfrac{7}{3}\)}
3. Tentukan akar-akar persamaan \(x^2-7x+10=0\)
Jawab
Untuk menentukan akar-akar persamaan \(x^2-7x+10=0\), terlebih dahulu
dicari dua bilangan yang jumlahnya -7 dan hasil kalinya 10. Kedua bilangan
itu adalah -5 dan -2, sehingga diperoleh.
\(\begin{array}{rcl} x^2-7x+10& = & 0 \\ (x-5)(x-2)& = & 0
\\ x -5& = & 0\ \text{atau}\ x - 2=0 \\x& = & 5\
\text{atau}\ x = 2\end{array}\)
Jadi, akar-akar persamaan \(x^2-7x+10=0\) adalah \(x=5\ \text{atau}\
x=2\).
Kuadrat Sempurna
Tidak semua persamaan kuadrat bisa diselesaikan dengan cara faktorisasi,
cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan
kuadrat sempurna. Melengkapkan kuadrat sempurna adalah metode dengan
mengubah bentuk umum menjadi bentuk kuadrat sempurna. Untuk dapat
menentukan persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna,
langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
- Pastikan bahwa koefisien \(x^2\) adalah 1. Jika koefisien \(x^2\neq1\), buatlah koefisiennya menjadi 1 dengan cara membagi kedua ruas persamaan dengan koefisien dari \(x^2\).
- Jika perlu, tambah/kurangkan kedua ruas dengan suatu bilangan agar konstanta hanya di ruas sebelah kanan.
- Melengkapkan kuadrat : menambah kedua ruas dengan kuadrat dari setengah nilai koefisien x.
- Faktorkan persamaan kuadrat.
- Selesaikan dengan menggunakan aturan akar kuadrat.
Contoh.
Dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, tentukan himpunan
penyelesaian dari persamaan \(x^2-6x+8=0\)
Jawab.
\(x^2-6x+8=0 \iff x^2-6x=-8\)
Agar bentuk \(x^2-6x\) menjadi bentuk kuadrat sempurna, kedua ruas harus
ditambahkan dengan kuadrat setengah koefisien \(x\), yaitu
\((\dfrac{1}{2}(-6))^2=9\), sehingga persamaan menjadi berikut.
\(\begin{array}{rcl} x^2-6x& = & -8 \\ x^2-6x+9& = & -8+9
\\ (x-3)^2 & = & 1 \\x-3& = & \pm
\sqrt{1}\\x-3&=&\pm 1\\ x-3&=&1\ \text{atau}\
x-3=-1\\x&=&4\ \text{atau}\ x=2 \end{array}\)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,4}
Rumus Kuadrat
Selain menggunakan faktorisasi dan dengan melengkapi kuadrat sempurna,
persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan
rumus kuadrat atau biasa dikenal dengan
rumus abc yaitu : \[x_{1,2}=\dfrac{-b\pm
\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Darimana rumus tersebut berasal? Perhatikan uraian berikut.
\(\begin{array}{rcl}ax^2+bx+c&=&0\\ax^2+bx&=&-c\\x^2+\dfrac{b}{a}x&=&-\dfrac{c}{a}\end{array}\)
Kedua ruas ditambah dengan (\(\dfrac{1}{2}\times \dfrac{b}{a})^2\)
sehingga diperoleh :
\(\begin{array}{rcl}x^2+\dfrac{b}{a}x+(\dfrac{b}{2a})^2&=&-\dfrac{c}{a}+(\dfrac{b}{2a}^2\\[12pt](\dfrac{b}{2a})^2&=&\dfrac{-c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}\\[12pt](x+\dfrac{b}{2a})^2&=&\dfrac{-4ac}{4a^2}+\dfrac{b^2}{4a^2}\\[12pt](x+\dfrac{b}{2a})^2&=&\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\\[12pt](x+\dfrac{b}{2a})&=&\pm
\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\\[12pt]x&=&-\dfrac{b}{2a}\pm
\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\\[12pt]x&=&\dfrac{-b\pm
\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}\)
Nilai \(b^2-4ac\) disebut nilai diskriminan yang diberi simbol
D. Perhatikan contoh soal berikut.
Contoh.
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(x^2-x-6=0\) dengan menggunakan
rumus kuadrat.
Jawab.
Dari persamaan kuadrat \(x^2-x-6=0\), diperoleh \(a=1, b=-1, c=-6\).
Sehingga akar-akar persamaan \(x^2-x-6=0\) adalah :
\[\begin{array}{rcl}x&=&\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[12pt]x&=&\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4(1)(-6)}}{2(1)}\\[12pt]x&=&\dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}\\[12pt]x&=&\dfrac{1\pm\sqrt{25}}{2}\\[12pt]x&=&\dfrac{1\pm5}{2}\\[12pt]x_1&=&\dfrac{1+5}{2}\\[21pt]x_1&=&3\\[12pt]x_2&=&\dfrac{1-5}{2}\\[12pt]x_2&=&-2
\end{array}\]
Sebagai referensi tambahan, silakan simak video berikut :
Evaluasi
Saatnya kita melakukan evaluasi terhadap materi persamaan kuadrat yang
telah dipelajari. Silakan kerjakan soal berikut ini dengan cara :
1. Klik tombol Start Quiz
2. Klik pada tombol jawaban yang benar.
3. Klik Next untuk berpindah ke soal berikutnya.
4. Klik Prev untuk kembali ke soal sebelumnya.
5. Klik Reset untuk memulai kembali.
6. Jika sudah selesai mengerjakan semua soal dan akan mengirim jawabannya,
klik tombol Submit.
7. Lihat perolehan skor yang tercantum di bagian bawah soal.
8. Nilai yang diperoleh adalah jumlah skor dibagi skor maksimal dikalikan
100.
Penutup
Demikian artikel tentang materi persamaan kuadrat yang diajarkan di kelas
IX SMP/MTs pada semester 1 ini. Apabila ada kesalahan silakan koreksi, dan
jika ada masukan silakan tuliskan di kolom komentar. Semoga bermanfaat.
Terima kasih.
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
35 komentar
image quote pre code