Kesebangunan dan Kekongruenan

A. Kompetensi Dasar
3.6 Menjelaskan dan menentukan kesebangunan dan kekongruenan antarbangun datar.
3.7 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kesebangunan dan kekongruenan antarbangun datar.

B. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi kesebangunan dan kekongruenan, diharapkan dapat :
  1. Membedakan dua bangun datar sebangun atau tidak sebangun dengan menyebutkan syaratya.
  2. Mengenali dua bangun datar yang kongruen atau tidak kongruen dengan menyebutkan syaratnya.
  3. Menghitung panjang sisi yang belum diketahui dari dua bangun yang sebangun.
  4. Menyebutkan syarat dua segitiga kongruen.
  5. Membuktikan dua segitiga sama sebangun.
  6. Menentukan perbandingan sisi-sisi dua segitiga yang sama sebangun dan menghitung panjangnya.
  7. Menyatakan akibat dari dua segitiga kongruen.
  8. Membedakan pengertian sebangun dan kongruen dua segitiga.
  9. Menyebutkan syarat dua segitiga sebangun.
  10. Menentukan perbandingan sisi dua segitiga sebangun dan menghitung panjangnya.
  11. Memecahkan masalah yang melibatkan konsep kesebangunan.
C. Materi
A. Kesebangunan Bangun Datar
1. Dua Bangun Datar Yang Sebangun
Perhatikan gambar berikut.
kesebangunan dua bangun datar
Persegi panjang $ABCD$ dan $PQRS$ mempunyai sisi-sisi yang bersesuaian yaitu : 
$\overline{AB}$ dengan $\overline{PQ}$;
$\overline{BC}$ dengan $\overline{QR}$;
$\overline{CD}$ dengan $\overline{RS}$;
$\overline{AD}$ dengan $\overline{PS}$.
Panjang sisi kedua persegi persegi panjang tersebut mempunyai perbandingan yang senilai.
$\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{CD}{RS}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$ (Perbandingan panjang)
$\dfrac{BC}{QR}=\dfrac{AD}{PS}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$ (perbandingan lebar)
Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua persegi panjang mempunyai perbandingan yang sama, yaitu :
$\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{BC}{QR}=\dfrac{CD}{RS}=\dfrac{AD}{PS}=\dfrac{1}{2}$
Keempat sudut dari persegi panjang $ABCD$ dan $PQRS$ adalah $90^0$ sehingga kedua persegi panjang tersebut mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, yaitu :
$\angle A$=$\angle P$,$\angle B$=$\angle Q$, $\angle C$=$\angle R$, dan $\angle D$=$\angle S$
Dapat dikatakan bahwa persegi panjang $ABCD$ sebangun dengan persegi panjang $PQRS$ dan ditulis $ABCD\simeq PQRS$. 

Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat berikut :
a. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang senilai.
b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

Contoh :
Perhatikan gambar berikut.
Bangun datar yang sebangun
Apakah layang-layang $ABCD$ sebangun dengan layang-layang $EFGH$?
Penyelesaian :
Salah satu sifat layang-layang adalah memiliki sepasang sudut berhadapan yang sama. Sifat ini akan kita gunakan untuk menentukan sudut-sudut yang yang belum diketahui dalam layang-layang.
Untuk layang-layang $ABCD$.
$\angle D$=$\angle B$=$110^0$ dan $\angle A$=$60^0$ maka $\angle C$=$360^0$-$(110+110+60)^0$=$80^0$.
Untuk layang-layang $EFGH$.
$\angle H$=$\angle F$=$110^0$ dan $\angle G$=$80^0$ maka $\angle E$=$360^0$-$(110+110+80)^0$=$60^0$.
Dengan demikian, diperoleh $\angle A$=$\angle E$, $\angle B$=$\angle F$, $\angle C$=$\angle G$, dan $\angle D$=$\angle H$. Ternyata sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Untuk layang-layang $ABCD$, $CD$=$BC$=6 cm dan $AB$=$AD$=9 cm. 
Untuk layang-layang $EFGH$, $EH$=$EF$=6 cm dan $FG$=$GH$= 4 cm sehingga diperoleh :
$\dfrac{BC}{FG}=\dfrac{DC}{GH}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$ dan
$\dfrac{AD}{EH}=\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}$ maka
$\dfrac{BC}{FG}=\dfrac{DC}{GH}=\dfrac{AD}{EH}=\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{3}{2}$.
Karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian senilai maka layang-layang $ABCD$ sebangun dengan layang-layang $EFGH$ atau dapat ditulis $ABCD\simeq EFGH$

2. Dua Bangun Yang sama Dan Sebangun
Perhatikan dua lembar uang kertas yang nilainya sama, misalnya  Rp 100.000,00 seperti gambar berikut.



Jika kita menghitung perbandingan dari masing-masing sisinya, maka akan memperoleh nilai perbandingan sisi-sisinya sama dengan 1.
Dari hasil perbandingan di atas diperoleh :
a. Sisi-sisi yang bersesuaian dari uang tersebut sama panjang;
b. sudut-sudut yang bersesuaian dari uang tersebut sama besar $(90^0)$
Jadi, kedua uang tersebut mempunyai bentuk dan ukuran yang sama. bangun-bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama disebut bangun-bangun yang kongruen, yakni bangun-bangun yang sama dan sebangun. Bangun-bangun yang kongruen jika diimpitkan akan saling menutupi satu sama lain. Untuk kata kongruen digunakan lambang $\cong$

Dua bangun bersisi lurus dikatakan kongruen jika :
a. Sisi-sisi yang bersesuaian dari bangun tersebut sama panjang.
b. Sudut-sudut yang bersesuaian dari bangun tersebut sama besar.

Contoh :
Perhatikan gambar dua belah ketupat di bawah ini. Apakah kedua bangun itu kongruen?
Penyelesaian :
Untuk menjawab soal tersebut, kita harus mengingat kembali sifat-sifat belah ketupat, yaitu :
a. Semua sisi sama panjang dan sepasang-sepasang sejajar;
b. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan terbagi dua sama besar.
Pada belah ketupat $ABCD$, $AB$=$BC$=$CD$=$AD$=6 cm, $\angle A$=$\angle C$=$40^0$, dan $\angle B$=$\angle D$=$140^0$ (sudut-sudut yang berhadapan)
Pada belah ketupat $EFGH$, $EF$=$FG$=$GH$=$EH$=6 cm, $\angle E$=$\angle G$=$40^0$, dan $\angle F$=$\angle H$=$140^0$
Dari uraian di atas, diperoleh :
$\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{BC}{FG}=\dfrac{CD}{GF}=\dfrac{AD}{EH}=1$

$\angle A$=$\angle C$=$\angle E$=$\angle G$=$40^0$ dan

$\angle B$=$\angle D$=$\angle F$=$\angle H$=$140^0$.
karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka bangun $ABCD$ dan $EFGH$ kongruen. Atau dapat ditulis $ABCD\cong EFGH$.

3. Menghitung Panjang Salah Satu Sisi yang Belum Diketahui dari Dua Bangun yang Sebangun
Kita dapat menggunakan sifat dari dua bangun datar yang sebangun, yaitu perbandingan panjang sisi yang bersesuaian senilai untuk menghitung panjang salah satu sisi yang belum diketahui dari dua bangun yang sebangun
Contoh :
Diketahui dua bangun datar berikut sebangun. Tentukan nilai $x$ dan $y$!
Penyelesaian :
Perbandingan sisi yang bersesuain yang diketahui adalah $\dfrac{21}{9} = \dfrac{7}{3}$, maka sisi yang lain juga harus mempunyai perbandingan yang sama. Nilai $x$ dan $y$ dapat diperoleh dari perbandingan di atas, yaitu :
$\begin{aligned}
\frac{7}{x}&=\frac{7}{3}\Leftrightarrow\ x =3\ \text {dan,}\\[8pt]
\dfrac{14}{y}&=\dfrac{7}{3}\Leftrightarrow\ y=\frac{14}{7}\times 3 = 6.
\end{aligned}$
Jadi nilai $x$ = 3 cm dan $y$ = 6 cm

B. Segitiga-segitiga yang Sebangun
1. Syarat Segitiga-Segitiga Sebangun
Perhatikan gambar berikut ini.
Apakah kedua segitiga tersebut sebangun?
Untuk menentukan apakah kedua segitiga sebangun, akan kita cek menggunakan aturan kesebangunan dua bangun datar, yaitu perbandingan sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian. Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua bangun segitiga tersebut adalah sebagai berikut.
$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{BC}{EF} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{AC}{DF} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$

Dengan demikian, diperoleh $\dfrac{AC}{DF} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{EF} = \dfrac{1}{2}$.
Ukurlah sudut-sudut dari kedua segitiga itu, kemudian bandingkan hasil pengukuran kalian untuk sudut-sudut yang bersesuaian, yaitu $\angle A$ dengan $\angle D$, $\angle B$ dengan $\angle E$, dan $\angle C$ dengan $\angle F$. Jika pengukuran kalian akurat, maka akan memperoleh hasil $\angle A$ = $\angle D$, = $\angle B$ = $\angle E$, dan $\angle C$ = $\angle F$. Karena sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang senilai dan sudut yang bersesuaian sama besar maka $\triangle ABC$ dan $\triangle DEF$ sebangun atau dapat ditulis $\triangle {ABC}\ \simeq \triangle {DEF}$.
Jadi, kesebangunan dua segitiga dapat diketahui cukup dengan menunjukkan bahwa perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian senilai.
Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar tersebut terdapat dua segitiga siku-siku, yaitu $\triangle ABC$ dan $\triangle DEF$. Karena $\angle A$ = $\angle D$ = $90^0$ dan $\angle B$ = $\angle E$ = $60^0$ maka besar sudut $\angle C$ dan $\angle F$ dapat dihitung dengan cara $\angle C$ = $\angle F$ = $180^0 - 90^0 - 60^0 = 30^0$.
Lakukan pengukuran panjang sisi-sisi dari kedua segitiga tersebut, maka akan diperoleh hasil :
Karena sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama dan sudut yang bersesuaian sama besar maka $\triangle ABC$ sebangun dengan $\triangle DEF$. Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa :

Dua segitiga dikatakan sebangun jika memenuhi salah satu syarat berikut :
1. Perbandinagn panjang sisi-sisi yang bersesuaian senilai.
2. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar.

Contoh :
Perhatikan gambar berikut.
perbandingan sisi-sisi segitiga yang sebangun
Apakah $\triangle KLM$ dan $\triangle PQR$ sebangun?
Penyelesaian :
Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari $\triangle KLM$ dan $\triangle PQR$ adalah sebagai berikut.
$\dfrac{KL}{PQ} = \dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}$

$\dfrac{LM}{QR} = \dfrac{60}{90} = \dfrac{2}{3}$

$\dfrac{KM}{PR} = \dfrac{50}{75} = \dfrac{2}{3}$

$\dfrac{KL}{PQ} = \dfrac{LM}{QR} = \dfrac{KM}{PR} = \dfrac{2}{3}$

$\mathbf{\therefore}$ Karena sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama maka $\triangle KLM$ dan $\triangle PQR$ sebangun atau $\triangle {KLM}\ \simeq \triangle {PQR}$.

2. Kesebangunan Khusus dalam Segitiga Siku-Siku
Perhatikan gambar berikut.
kesebangunan khusus dalam segitiga siku-siku
Dalam segitiga siku-siku terdapat kesebangunan khusus :
*$\triangle ADB$ dan $\triangle CDA$ sebangun, maka berlaku :
$\begin{aligned}\frac{AD}{CD}&=\frac{BD}{AD}&\Leftrightarrow & AD\times AD&=BD\times CD\\&&\Leftrightarrow &AD^2&=BD\times CD\\\end{aligned}$
$\therefore$ Jadi, $AD^2 = BD\times CD$

*$\triangle ADB$ dan $\triangle CAB$ sebangun, maka berlaku :
$\begin{aligned}\frac{AB}{BC}&=\frac{BD}{AB}&\Leftrightarrow & AB\times AB&=BD\times BC\\&&\Leftrightarrow &AB^2&=BD\times BC\\\end{aligned}$
$\therefore$ Jadi, $AB^2 = BD\times BC$

*$\triangle CAB$ dan $\triangle CDA$ sebangun, maka berlaku :
$\begin{aligned}\frac{AC}{AD}&=\frac{CB}{AC}&\Leftrightarrow & AC\times AC&=CD\times CB\\&&\Leftrightarrow &AC^2&=CD\times CB\\\end{aligned}$
$\therefore$ Jadi, $AC^2 = CD\times CB$

Dengan demikian, pada $\triangle ABC$ (pada gambar di atas) berlaku :       
*$AD^2$ = $BD\times CD$; $AB^2$ = $BD\times BC$;*$AC^2$ = $CD\times CB$.
 
Contoh :
Perhatikan gambar berikut.
kesebangunan khusus dalam segitiga siku-siku
Pada gambar tersebut, diketahui $AB$ = 6 cm dan $BC$ = 8 cm. Tentukan :
a. $AC$;
b. $AD$;
c. $BD$.
Penyelesaian :
$\begin{array}{cll}a.&AC^2&=AB^2+BC^2\\&AC^2&=6^2+8^2\\&AC^2&=36+64\\&AC^2&=100\\&AC&=\sqrt{100}\\&AC&=10\end{array}$

$\begin{array}{cll}b. &AB^2&=AD\times AC\\&6^2&=AD\times 10\\&36&=AD\times 10\\&AD&=\frac{36}{10}\\&AD&=3,6\\&DC&=10\ cm-3,6\ cm\\&&=6,4\ cm\end{array}$

$\begin{array}{cll}c. &BD^2&=AD\times DC\\&BD^2&=3,6\times 6,4\\&BD^2&=23,04\\&BD&=\sqrt{23,04}\\&BD&=4,8\end{array}$

3. Menghitung Panjang Salah Satu Sisi yang Belum Diketahui dari Dua Segitiga yang Sebangun
Konsep kesebangunan segitiga dapat digunakan untuk menghitung panjang salah satu sisi segitiga sebangun yang belum diketahui.
Perhatikan contoh berikut.
1. Dari gambar berikut diketahui $\triangle {ABC}$ sebangun dengan $\triangle {DEF}$. Tentukan panjang $EF$.
menentukan panjang sisi segitiga yang sebangun
2. Perhatikan gambar berikut.
menentukan panjang sisi segitiga yang sebangun
a. Apakah $\triangle {AED}$ dan $\triangle {BCE}$ sebangun? Jelaskan.
b. Hitunglah panjang $AE$.
Penyelesaian :
1. 
$\begin{aligned}
\frac {AB}{DE}&=\frac {BC}{EF}\\
\frac {12}{6}&=\frac {15}{EF}\\
2\ EF&=15\\
EF&=\frac {15}{2}\\
EF&=7,5
\end{aligned}$
Jadi, panjang $EF = 7,5$ cm.
2. a. Dari $\triangle {AED}$ dan $\triangle {BCE}$ tampak bahwa $\angle {AED}$ dan $\angle {BEC}$ bertolak belakang sehingga $\angle {AED} = \angle {BEC}$.
Karena $\angle {AED}$ dan $\angle {BEC}$ bertolak belakang dan $\overline {AD}\parallel\overline {BC}$ maka $\angle DAE = \angle {BCE}$ sebab merupakan dua sudut sehadap pada dua garis sejajar yang dipotong oleh garis lain. Karena dua sudut yang bersesuaian sama besar maka sudut ketiganya juga sama besar sehingga $\triangle {AED}$ dan $\triangle {BCE}$ sebangun.
    b. Panjang $EF$
$\begin{aligned}
\frac {AD}{BC}&=\frac {AE}{CE}\\
\frac {9}{16}&=\frac {AE}{12}\\
16\ AE&=108\\
EF&=\frac {108}{16}\\
EF&=6,75
\end{aligned}$
Jadi, panjang $EF = 6,75$ cm.

4. Garis-Garis Sejajar pada Sisi Segitiga
Perhatikan gambar berikut.
menemukan rumus garis-garis sejajr pada sisi segitiga
Pada gambar tersebut $\triangle {ABC}$ $\simeq$ $\triangle {DEC}$. Tentunya pada dua segitiga yang sebangun berlaku perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian senilai. bagaimana menghitung panjang ruas garis-ruas garis sejajar pada dua segitiga yang sebangun?
Pada gambar tersebut terlihat bahwa rua garis $DE \parallel AB$ sehingga diperoleh :
$\angle {ACB} = \angle {DCE}$ (berimpit)
$\angle {CAB} = \angle {CDE}$ (sehadap)
Karena dua sudut yang bersesuaian dari $\triangle {ABC}$ dan $\triangle {DEC}$ sama besar maka kedua segitiga itu sebangun. Karena sebangun maka berlaku :

$\begin{aligned}\frac{CD}{AC}&=&\frac{CE}{BC}&=&\frac{DE}{AB}\Leftrightarrow\frac{d}{a+d}&=&\frac{c}{c+b}&=&\frac{e}{f}\end{aligned}$

Ambil persamaan $\dfrac{d}{a+d}=\dfrac{c}{c+b}$.
Kedua ruas dikalikan $(a+d)(c+b)$, sehingga diperoleh :
$\begin{aligned}\frac{d}{a+d}(a+d)(c+b)&=\frac{c}{c+b}(a+d)(c+b)\\d(c+b)&=c(a+d)\\
cd+bd&=ac+cd\\
bd&=ac\\
\frac{d}{a}&=\frac{c}{b}
\end{aligned}$
Contoh.
Perhatikan gambar berikut.
Menghitung panjang sisi segitiga yang kongruen
Dalam $\triangle {PRT}, \overline {PT}\parallel \overline {QS}$, hitunglah $QR$ dan $ST$.
Penyelesaian.
Panjang $QR$ adalah :
$\begin{aligned}
\dfrac{QS}{PT}&=\dfrac{QR}{PQ+QR}\\
\dfrac{3}{4}&=\dfrac{QR}{2+QR}\\
4QR&=3(2+QR)\\
4QR&=6+3QR\\
4QR-3QR&=6\\
QR&=6
\end{aligned}$
Jadi, panjang $QR$ adalah $6$ cm.
Panjang $ST$ adalah :
$\begin{aligned}
\dfrac{QS}{PT}&=\dfrac{RS}{ST+RS}\\
\dfrac{3}{4}&=\dfrac{4}{ST+4}\\
3(4+ST)&=4(4)\\
12+3ST&=16\\
3ST&=16-12\\
3ST&=4\\
ST&=\frac{4}{3}
\end{aligned}$
Jadi, panjang $ST = \frac {3}{4}$ cm.

5. Menyelesaikan Soal Cerita yang Berkaitan dengan Kesebangunan
Contoh soal :
1. Sebuah kawat baja dipancangkan untuk menahan sebuah tiang listrik yang berdiri tegak lurus. Sebuah tongkat didirikan tegak lurus sehingga ujung tongkat menyentuh kawat. Diketahui panjang tongkat $2$ m, jarak tongkat ke pangkal kawat $3$ m dan jarak tiang listrik ke tongkat $6$ m. Berapa tinggi tiang listrik?
2. Perhatikan gambar berikut.
kesebangunan dua bangun datar
Pada gambar tersebut, sebuah foto orang jelek diletakkan di atas bingkai berukuran $60$ cm x $40$ cm. Di sebelah kiri, atas, dan kanan foto masih terdapat sisa bingkai  dengan lebar $6$ cm. Jika bingkai dan foto sebangun, maka lebar bingkai yang tersisa di bawah foto adalah ...
penyelesaian :
1. Misal tinggi tiang listrik adalah $t$, sehingga diperoleh perbandingan sebagai berikut.
$\begin{aligned}
\frac{\text{Tinggi tongkat}}{\text{Tinggi tiang listrik}}&=\frac{\text{Jarak kawat ke tongkat}}{\text{Jarak kawat ke tiang listrik}}\\
\frac{2}{t}&=\frac{3}{3+6}\\
3t&=2(3+6)\\
3t&=6+12\\
3t&=18\\
t&=\frac{18}{3}\\
t&=6
\end{aligned}$
Jadi, tinggi tiang listrik adalah $6$ m.
2. Ukuran bingkai $p = 60$ cm, dan $l = 40$ cm.
Ukuran foto $p = 60 - 6 - x = (54 - x)$ cm, dan $l = 40 - 6 - 6 = 28$ cm.
Karena foto dan bingkai sebangun, maka :
$\begin{aligned}
\frac{54-x}{60}&=\frac{28}{40}\\[9pt]
\frac{54-x}{60}&=\frac{7}{10}\\
54-x&=60\times \frac{7}{10}\\
54-x&=42\\
-x&=42-52\\
x&=12
\end{aligned}$
Jadi, lebar bingkai di bawah foto adalah $12$ cm.

C. Segitiga-Segitiga yang Kongruen
1. Sifat-sifat Dua Segitiga yang Kongruen
Segitiga-segitiga yang kongruen adalah segitiga-segitiga yang empunyai bentuk dan ukuran yang sama.
Perhatikan gambar berikut.
sifat-sifat dua segitiga yang kongruen
Gambar tersebut menunjukkan $\triangle {PQT}$ dan $\triangle {QRS}$ kongruen. Dengan memperhatikan panjang sisi-sisinya tampak bahwa $PQ = QR, QT = RS$, dan $QS = PT$ sehingga sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga sama panjang.
Selanjutnya, dengan memperhatikan besar sudut-sudutnya, tampak bahwa $\angle {TPQ} = \angle {SQR}, \angle {PQT} = \angle {QRS}$, dan $\angle {PTQ} = \angle {QSR}$ sehingga sudut-sudut yang bersesuain dari kedua segitiga tersebut sama besar.
Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.
Dua buah segitiga dikatakan kongruen jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut.
1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
2. Syarat Dua Segitiga yang Kongruen
  1. Ketiga pasang sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi- sisi- sisi).
  2. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi itu sama besar (sisi, sudut, sisi).
  3. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang menghubungkan kedua titik sudut itu sama panjang (sudut, sisi, sudut).

Penjabaran dari ketiga syarat di atas adalah sebagai berikut.
dua segitiga kongruen dengan ketiga pasang sisi yang bersesuaian sama panjang
Dua segitiga di atas, yaitu $\triangle {ABC}$ dan $\triangle {DEF}$ mempunyai panjang sisi-sisi yang sama.
$\begin{aligned}
{AB}={DE}\Leftrightarrow \frac{AB}{DE}=1\\
{BC}={EF}\Leftrightarrow \frac{BC}{EF}=1\\
{AC}={DF}\Leftrightarrow \frac{AC}{DF}=1
\end{aligned}$
sehingga diperoleh $\begin{aligned}
\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=1
\end{aligned}$.
Perbandingan yang senilai untuk sisi-sisi yang bersesuaian menunjukkan bahwa kedua segitiga tersebut sebangun. Karena sebangun maka sudut-sudut bersesuaian juga sama besar, yaitu $\angle {A} = \angle {D}, \angle {B} = \angle {E}$ dan $\angle {C} = \angle {F}$.
Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka $\triangle {ABC}$ dan $\triangle {DEF}$ kongruen atau ditulis $\triangle {ABC} \cong \triangle {DEF}$.
b. Dua Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang dan Sudut yang Dibentuk oleh Sisi-Sisi Itu Sama Besar (sisi. sudut, sisi)
Perhatikan gambar berikut.

dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang dibentuk sama besar (sisi, sudut, sisi)
Dari gambar tersebut diketahui bahwa $AB = DE, AC = DF$, dan $\angle {CAB} =\angle {EDF}$. Jika dua segitiga tersebut diimpitkan, akan tepat berimpit, sehingga diperoleh :
$\begin{aligned}\frac{AB}{DE} = \frac {BC}{EF} = \frac {AC}{DF} = 1
\end{aligned}$
Hal ini berarti $\triangle {ABC}$ dan $\triangle {DEF}$ sebangun atau dapat ditulis $\triangle {ABC}\simeq\triangle {DEF}$. Karena sebangun maka diperoleh $\angle {A} =\angle {D}, \angle {B} = \angle {E}$, dan $\angle {C} = \angle {F}$. karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang maka $\triangle {ABC}$ dan $\triangle {DEF}$ kongruen atau dapat ditulis $\triangle {ABC}\cong \triangle {DEF}$.
c. Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang Menghubungkan Kedua Sudut Itu Sama Panjang (sudut, sidi, sudut)
Perhatikan gambar berikut.
dua sudut yang bersesuain sama besar dan sisi yang menghubungkan kedua sudut sama panjang
Pada gambar tersebut tampak bahwa $\triangle {ABC}$ dan $\triangle {DEF}$ mempunyai sepasang sisi bersesuaian yang sama panjang dan dua sudut yang bersesuaian sama besar, yaitu $AB = DE, \angle {A} = \angle {D}$, dan $\angle {B} = \angle {E}$. Karena $\angle {A} = \angle {D}$ dan $\angle {B} = \angle {E}$ maka $\angle {C} = \angle {E}$.
Jadi, $\triangle {ABC}$ dan $\triangle {DEF}$ sebangun atau dapat ditulis $\triangle {ABC} \simeq \triangle {DEF}$.
Karena sebangun maka sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang senilai.
$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac {BC}{EF} = \dfrac {AC}{EF}$
Karena $\dfrac {AB}{DE} = 1$ maka $\dfrac {AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac {AC}{EF} = 1$
Jadi, $AC = DF$ dan $BC = EF$.
Dengan demikian, $\triangle {ABC}$ dan $\triangle {DEF}$ kongruen atau dapat ditulis $\triangle {ABC} \cong \triangle {DEF}$.
Contoh soal :
Perhatikan gambar layang-layang berikut.
segitiga-segitiga yang kongruen di dalam layang-layang
Sebutkan pasangan segitiga-segitiga yang kongruen dalam layang-layang tersebut.
Penyelesian :
Pasangan segitiga-segitiga yang kongruen adalah :
1. $\triangle {AED}$ dengan $\triangle {ABE}$
Bukti :
Karena $\triangle {ABD}$ sama kaki dan $\overline {AE}$ adalah garis bagi    maka diperoleh:
$\begin{aligned}
AD& = AB\ ( \text {diketahui})\\
\angle {DAE}&=\angle {BAE}\\
AE&=AE\ (\text {berimpit})\\
\end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\triangle {AED} \cong \triangle {BEC}$. (sisi, sudut, sisi).
2. $\triangle {DEC}$ dengan $\triangle {BEC}$
Bukti :
Karena $\triangle {BCD}$ sama kaki dan $\overline {CE}$ adalah garis bagi maka diperoleh :
$\begin{aligned}
CD& = CB\ ( \text {diketahui})\\
\angle {DCE}&=\angle {BCE}\\
CE&=CE\ (\text {berimpit})\\
\end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\triangle {DEC} \cong \triangle {BEC}$. (sisi, sudut, sisi).
3. $\triangle {ACD}$ dengan $\triangle {ABC}$
Silakan dibuktikan ya 😊🙏

D. Menghitung Panjang Sisi dan Besar Sudut Segitiga-Segitiga Kongruen
Perhatikan gambar berikut.
menghitung panjang sisi dan besar sudut segitiga yang kongruen
Pada gambar, tampak bahwa $\triangle {KNM} \cong \triangle {LNM}$. Panjang $KN = 5$ cm, $KM = 10$ cm, $\angle {NKM} = 60^0$. Tentukan panjang sisi dan sudut yang belum diketahu.
Penyelesaian :
Karena $\triangle {KNM} \cong \triangle {LNM}$ maka $KM = ML = 10$ cm dan $KN = 5$ cm. Dengan demikian, panjang $MN$ dapat ditentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras.
$\begin{aligned}
MN&=\sqrt {ML^2-NL^2}\\
&=\sqrt{10^2-5^2}\\
&=\sqrt{100-25}\\
&=\sqrt{75}\\
&=5\sqrt{3}\ \text{cm}\\
\angle{MLN}&=\angle{NKM}=60^0\\
\angle{KMN}&=\angle{NML}=180^0-(90+60)^0=30^0\\
\end{aligned}$
Jadi, panjang $MN$ adalah $5\sqrt{3}$ cm. $\angle {MLN} = 60^0$, $\angle {KMN} = \angle {NML} = 30^0$.

D. Simulasi GeoGebra
Silakan menggeser segitiga/titik-titik sudut $\triangle {ABC}$, $\triangle {DEF}$, atau $\triangle {A'B'C'}$, atau bisa juga dengan menggeser titik $G$.
Terlihat bahwa segitiga $\triangle {ABC}\simeq \triangle {DEF}$, dan $\triangle {ABC} \cong \triangle { A'B'C'}$.

E. Evaluasi
Setelah mempelajari materi kesebangunan dan kekongruenan, silakan kerjakan soal evaluasi berikut.
1. Seseorang yang berdiri pada jarak $2$ meter dari tiang lampu memiliki bayangan oleh sinar lampu setinggi $3$ meter. Jika tinggi orang tersebut $1,8$ meter, maka tinggi tiang lampu adalah ...
2. Sebuah foto yang berukuran $12$ cm x $15$ cm diletakkan pada sebuah karton. Pada bagian atas, kiri, dan kanan foto masih terdapat sisa karton selebar $2$ cm. Jika foto dan karton sebangun, maka luas karton adalah ...
3. Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar tersebut, jika $AD : DB = 2 : 1$ dan panjang $DE = 6$ cm, maka panjang $BC$ adalah ...
4. Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar tersebut, segi empat $ABCD$ dengan $AB\parallel CD$ dan $EF\parallel AB$ dengan $E$ pada $AD$ dan $F$ pada $BC$ sedemikian sehingga $DE : EA = 5 : 3$. Jika panjang $CD = 2$ cm dan $AB = 10$ cm, maka panjang $EF$ adalah ...
5. Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar tersebut, diketahui panjang $AB = CD = 8$ cm dan $AD = 20$ cm. Panjang $BC$ adalah ...
Demikian materi tentang kesebangunan dan kekongruenan, jika ada saran, kritik, ataupun sanggahan, silakan tuliskan di kolom komentar. Semoga bermanfaat, terima kasih 😊🙏.




Mau donasi lewat mana?

Paypal
Bank Rakyat Indonesia - An. Aan Triono / Rek : 0357-01-132169-50-3
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi sedikit donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
https://blog.choipanwendy.com