Pengertian Himpunan

Pengantar

Perhatikan gambar berikut.

Himpunan
Gambar : Supermarket buah

Ketika kita berbelanja buah-buahan di supermarket buah, maka kita akan melihat sekumpulan buah, seperti sekumpulan buah anggur, sekumpulan buah mangga, sekumpulan buah jeruk dan sebagainya. Buah-buah tersebut dikelompokkan berdasarkan nama atau jenisnya. Dalam matematika, kumpulan benda atau objek yang sejenis disebut himpunan. Tetapi tidak semua kumpulan termasuk himpunan. Mengapa demikian?

Pengertian Himpunan

Berikut ini diberikan contoh-contoh himpunan dan bukan himpunan. Perhatikan dengan seksama agar bisa membedakannya.
Contoh kumpulan yang termasuk himpunan :
  1. Kumpulan siswa laki-laki.
  2. Kumpulan hewan yang berkaki empat.
  3. Kumpulan buah-buahan yang diawali huruf S.
Contoh kumpulan yang termasuk bukan himpunan :
  1. Kumpulan pelajaran yang disenangi murid.
  2. Kumpulan makanan yang lezat.
  3. Kumpulan murid yang pandai.
Dari contoh-contoh tersebut, kita dapat memberikan sebuah definisi tentang himpunan yaitu :

Definisi : Himpunan adalah kumpulan benda atu objek yang terdefinisi dengan jelas.

Himpunan disebut juga dengan "kumpulan, kelompok, gugus, atau set". Himpunan yang jelas artinya himpunan yang anggota-anggotanya dapat ditetapkan secara jelas. Benda atau objek yang dimuat dalam suatu himpunan disebut anggota himpunan atau elemen.

Lambang Suatu Himpunan

Ketentuan untuk memberi lambang suatu himpunan adalah sebagai berikut.
  1. Untuk nama himpunan digunakan huruf kapital, misalnya \(A, B, C, D, E\), dan seterusnya.
  2. Untuk penulisan anggota-anggota himpunan, dibatasi oleh dua kurung kurawal { }.
  3. Untuk memisahkan anggota yang satu dengan yang lain, digunakan tanda koma.
Contoh.
A = {bilangan asli kurang dari 10}
B = {2, 3, 5, 7, 11}
C = {siswa kelas VII yang memakai kacamata}
Di dalam matematika, beberapa huruf besar digunakan sebagai lambang himpunan bilangan tertentu. Diantaranya yang biasa dipergunakan adalah sebagai berikut :
Huruf A : Lambang himpunan bilangan asli.  A = {1, 2, 3, ...}
Huruf B : Lambang himpunan bilangan bulat. B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Huruf C : Lambang himpunanbilangan cacah. C = {0, 1, 2, 3, ...}
Huruf I : Lambang himpunan bilangan irasional.  
Huruf L : Lambang himpunan bilangan ganjil.
Huruf N : Lambang himpunan bilangan genap.
Huruf P : Lambang himpunan bilangan prima.
Huruf Q : Lambang himpunan bilangan rasional.
Huruf R : Lambang himpunan bilangan nyata (real).

Menyatakan Suatu Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan beberapa cara, yaitu :
  1. Menyatakan suatu himpunan dengan kata-kata.
  2. Himpunan dapat dideskripsikan dengan kata-kata atau kalimat yang mewakili anggota dalam himpunan tersebut, misalnya sebagai berikut, A adalah himpunan hewan berkaki dua. Hal ini dapat juga ditulis A = {hewan berkaki dua}

  3. Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan.
  4. Dalam hal ini, objeknya dilambangkan dengan sebuah variabel atau peubah, misalnya variabel x atau y. Sebagai contoh, perhatikan berikut ini. K={x | x bilangan prima kurang dari 15}, dibaca "K adalah himpunan x dengan x adalah bilangan prima kurang dari 15". L = {x | 2 < x < 8, x bilangan bulat}, dibaca "L adalah himpunan x dengan x bilangan bulat antara 2 dan 8".

  5. Menyatakan suatu himpunan dengan mendaftar anggota-anggotanya (Rooster).
  6. Perhatikan contoh berikut. K = {nama bulan pada tahun Masehi yang diakhiri huruf i}. Penulisan dengan cara mendaftar anggota-anggotanya adalah K ={Januari, Februari, Mei, Juni, Juli}. L = {warna pelangi}. Penulisan dengan cara mendaftar anggota-anggotanya adalah L = {merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, ungu}.

Anggota Himpunan

Perhatikan himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5}. Angka 1, 2, 3, 4, dan 5 merupakan anggota di A, ditulis dengan \(1 \in A, 2\in A, 3\in A, 4\in A, 5\in A\), dengan \(\in \) merupakan notasi/lambang yang menyatakan anggota sebuah himpunan. Lambang/notasi bukan anggota ditulis dengan \(\notin\). Pada himpunan A di atas tidak terdapat bilangan 6, sehingga 6 bukan anggota A, dan ditulis \(6\notin A\) yang berarti bahwa 6 bukan anggota himpunan A.

Menyatakan Banyaknya Anggota Suatu Himpunan

Apabila A adalah suatu himpunan maka banyak anggota himpunan A ditulis dengan notasi $n(A)$. Dalam hal ini \(n(A)\) disebut bilangan kardinal dari A, yaitu bilangan yang menyatakan banyak anggota himpunan A. Himpunan dengan banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga, sedangkan himpunan dengan banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tidak berhingga. Misalnya N adalah himpunan bilangan asli maka anggota adalah 1, 2, 3, ... Banyak anggota himpunan N adalah tidak berhingga, ditulis \(n(N) = \infty\)
Contoh.
1. Z adalah himpunan bilangan bulat antara 0 dan 6. Berapakah banyak anggota himpunan Z?
2. N adalah himpunan bilangan asli. Berapakah banyak anggota himpunan N?
Klik tombol Show all untuk melihat jawaban.
Jawab :

1. \(Z\) = {1, 2, 3, 4, 5}. Banyak anggota himpunan Z adalah 5 atau \(n(Z)=5\)

2. \(N\)={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}. Banyak anggota himpunan \(N\) adalah tak berhingga atau \(n(N)=\infty\)

Himpunan Kosong

Definisi : Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Lambang himpunan kosong adalah \(\varnothing\) atau { }.

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan yang mana pun. Contoh himpunan kosong adalah sebagai berikut.
1. Jika H adalah himpunan nama-nama presiden Indonesia yang diawali dengan huruf P, nyatakan H dengan notasi himpunan.
2. Jika M adalah himpunan nama bulan yang banyak harinya 20, nyatakan M dengan notasi himpunan.
Jawab :

1. Karena nama-nama presiden Indonesia adalah Soekarno, Soeharto, B. J. Habibie, Abdurrahman Wahid, Megawati Soekarno Putri, Susilo Bambang Yudhoyono, dan Joko Widodo maka tidak ada nama presiden yang dimulai dengan huruf \(P\). Jadi, \(H\) adalah himpunan kosong, ditulis \(H=\varnothing\) atau \(H\)= {}

2. Karena tidak ada bulan yang banyak harinya 20, maka himpunan \(M\) adalah himpunan kosong, ditulis \(M=\varnothing\) atau \(M\)= { }

Himpunan Bagian

Untuk memahami pengertian himpunan bagian, perhatikan contoh berikut.
A = {becak, delman, mobil, bus, kereta api, kapal laut, pesawat terbang}
B = {mobil, bus, kereta api, pesawat terbang, kapal laut}
C = {becak, delman, kapal laut, kereta api, bus}
Jika diperhatikan, setiap anggota himpunan B adalah juga menjadi anggota himpunan A. Kita katakan bahwa B adalah himpunan bagian dari A, dan dinotasikan \(B\subset A\). Demikian juga B bukan himpunan bagian C, dinotasikan \(B\not\subset C\). Sebaliknya, tidak semua anggota himpunan C termasuk himpunan B, yaitu becak dan delman, jadi \(C\not\subset B\).

1 Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B jika setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B, dinotasikan dengan \(A\subset B\)
2 Himpunan A dikatakan bukan himpunan bagian dari B jika setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B, dinotasikan dengan \(A\not\subset B\)

Menentukan Banyaknya Himpunan Bagian

Perhatikan uraian berikut, untuk menentukan banyak himpunan bagian.
A = {1}
Banyak himpunan bagian dari A ada 2, yaitu {1}, dan \(\varnothing \).
B = {1, 2}
Banyak himpunan bagian dari B ada 4, yaitu {1}, {2}, {1, 2}, \(\varnothing\).
C = {1, 2, 3}
Banyak himpunan bagian dari C ada 8, yaitu {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, \(\varnothing \)
Jika kita perhatikan uraian di atas, diperoleh pernyataan berikut :
Jika \(n(A) = 1\), maka banyak himpunan bagiannya adalah 2, diperoleh dari \(2^1=2\)
Jika \(n(B) = 2\), maka banyak himpunan bagiannya adalah 4, diperoleh dari \(2^2=4\)
Jika \(n(C) = 3\), maka banyak himpunan bagiannya adalah 8, diperoleh dari \(2^3=8\)

Kesimpulan :
Jika banyak anggota himpunan A adalah n, maka banyak himpunan bagian dari A adalah \(2^n\) 

Contoh.
Tentukan himpunan bagian dari :
a. P = {a, b, c, d, e}
b. K = {x | x bilangan asli kurang dari 7}
Klik tanda + atau tombol Jawab untuk melihat jawaban.
  • a. \(P\) = {a, b, c, d, e} maka \(n(P) = 5\). Jadi, banyak himpunan bagian dari \(P=2^5=32\)

    b. \(K\) = {x | x bilangan asli kurang dari 7}, \(K\) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka \(n(K) = 6\). Jadi, banyak himpunan bagian dari \(K= 2^6=64\).

Himpunan Semesta

Perhatikan gambar berikut.
himpunan semesta alat transportasi
Jika kita membicarakan mobil, bus, kereta api, dan pesawat terbang, dapat dikatakan bahwa kita sedang membicarakan alat transportasi. Dengan kata lain semesta pembicaraan kita adalah alat transportasi. Semesta pembicaraan sering disebut himpunan semesta atau universum. Himpunan semesta biasanya ditulis dengan huruf S atau U.
Contoh.
Tentukan himpunan semesta dari A = {2, 4, 6, 8, 10}
Jawab.
Himpunan semesta yang mungkin adalah {bilangan cacah}, {bilangan asli}, {bilangan bulat}, dan {bilangan genap}.

Evaluasi

Setelah mempelajari materi tentang himpunan, saatnya kita melakukan evaluasi untuk mengukur sejauh mana pemahaman tentang materi tersebut. 
Petunjuk pengerjaan evaluasi.
1. Klik tombol Start Quiz
2. Klik pada tombol jawaban yang benar.
3. Klik Next untuk berpindah ke soal berikutnya.
4. Klik Prev untuk kembali ke soal sebelumnya.
5. Klik Reset untuk memulai kembali.
6. Jika sudah selesai mengerjakan semua soal dan akan mengirim jawabannya, klik tombol Submit. 
7. Lihat perolehan skor yang tercantum di bagian bawah soal.
8. Nilai yang diperoleh adalah jumlah skor dibagi skor maksimal dikalikan 100.
Soal :

Penutup

Demikian materi tentang himpunan dan cara menyatakanya, himpunan kosong, himpunan bagian, himpunan semesta. Jika ada kesalahan silakan koreksi. Dan jika ada masukan silakan tuliskan di kolom komentar. Semoga bermanfaat. Terima kasih.

Mau donasi lewat mana?

Paypal
Bank Rakyat Indonesia - An. Aan Triono / Rek : 0357-01-132169-50-3
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi sedikit donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
https://blog.choipanwendy.com