Bilangan Pecahan

Pengantar

Kelas VII.A dari sebuah SMP mengadakan pemilihan ketua kelas. Calon-calon ketua kelas tersebut adalah Danang, Fatimah, dan Zalfa. Setelah diadakan pemungutan suara, diperoleh data bahwa Danang memperoleh $\dfrac{1}{3}$ dari perolehan Fatimah, sedangkan Fatimah memperoleh $\dfrac{3}{4}$ dari perolehan Zalfa. Jika jumlah siswa di kelas itu ada 32 anak, berapakah perolehan suara dari masing-masing calon?

Definisi Bilangan Pecahan

Dikutip dari Buku Ensiklopedia Matematika yang ditulis oleh ST. Negoro dan B. Harahap, menyatakan bahwa :
pecahan adalah bilangan yang menggambarkan bagian dari suatu keseluruhan, bagian dari suatu daerah, bagian dari suatu benda, atau bagian dari suatu himpunan.
Perhatikan gambar berikut.
operasi hitung bilangan pecahan

Pada pecahan yang ditulis dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$, dengan $a, b$ bilangan bulat dan $b\ne 0$, $a$ disebut pembilang, dan $b$ disebut penyebut.

Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang memiliki nilai sama. Untuk memperoleh pecahan senilai, dapat dilakukan dengan cara mengalikan atau membagi pembilang dan penyebut pecahan semula dengan bilangan yang sama selain nol. Contoh pecahan-pecahan senilai adalah $\dfrac{2}{2}, \dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{6}, \dfrac{4}{8}$, dan $\dfrac{8}{16}$.

Selanjutnya cara membandingkan dua pecahan yang penyebutnya tidak sama adalah dengan mengubah pecahan-pecahan tersebut menjadi pecahan senilai berpenyebut sama.
Perhatikan contoh berikut.
Bandingkan pasangan pecahan berikut.
a. $\dfrac{2}{3}$ dan $\dfrac{3}{4}$

b. $\dfrac{3}{5}$ dan $\dfrac{5}{7}$
Jawab.
a. Penyebut dari $\dfrac{2}{3}$ dan $\dfrac{3}{4}$ berturut-turut adalah $3$ dan $4$. KPK dari $3$ dan $4$ adalah $12$. Untuk membandingkan besar pecahan itu, terlebih dahulu samakan penyebutnya dengan KPK dari kedua penyebut.
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}$ dan $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$, sehingga diperoleh $\dfrac{8}{12}<\dfrac{9}{12}$.  Jadi $\dfrac{2}{3}<\dfrac{3}{4}$.

b. Penyebut dari $\dfrac{3}{5}$ dan $\dfrac{5}{7}$ berturut-turut adalah $5$ dan $7$. KPK dari $5$ dan $7$ adalah $35$. 
$\dfrac{3}{5}=\dfrac{21}{35}$ dan $\dfrac{5}{7}=\dfrac{25}{35}$, sehingga diperoleh $\dfrac{21}{35}<\dfrac{25}{35}$.  Jadi $\dfrac{3}{5}<\dfrac{5}{7}$.

Perbandingan

Contoh.
Jumlah uang Bu Intan Rp $15.000,00$. Jika uang tersebut dibelanjakan Rp $10.000,00$, berapa bagian uang Bu Intan yang dibelanjakan?
Jawab.
Perbandingan uang yang dibelanjakan Bu Intan terhadap jumlah uang adalah Rp $10.000,00$ berbanding Rp $15.000,00$, ditulis Rp $10.000,00$ : Rp $15.000,00=2 : 3$

Desimal

Pecahan desimal adalah pecahan dengan penyebut $10, 100, 1.000$, dan seterusnya.

Contoh.
1. Ubahlah pecahan-pecahan berikut ke bentuk pecahan desimal.
a. $\dfrac{1}{4}$

b. $\dfrac{6}{25}$
2. Ubahlah bentuk desimal berikut ke bentuk pecahan biasa.
a. $0,4$
b. $0,016$
c. $5,25$
Jawab.
1.a. $\dfrac{1}{4}=\dfrac{1\times 25}{4\times 25}=\dfrac{25}{100}=0,25$

b. $\dfrac{6}{25}=\dfrac{6\times 4}{25\times 4}=\dfrac{24}{100}=0,24$

2.a. $0,4=\dfrac{4}{10}=\dfrac{4 : 2}{10 : 2}=\dfrac{2}{5}$

b. $0,016=\dfrac{16}{1.000}=\dfrac{16 : 8}{1.000 : 8}=\dfrac{2}{125}$

c. $5,25=\dfrac{525}{100}=\dfrac{525 : 25}{100 : 25}=\dfrac{21}{4}=5 \dfrac{1}{4}$

Persen

Persen adalah pecahan dengan penyebut $100$ dan dinotasikan dengan %. Untuk mengubah pecahan biasa ke bentuk persen, dapat dilakukan dengan salah satu cara berikut.
a) Mengubah pecahan semula menjadi pecahan senilai dengan penyebut $100$.
b) Pecahan biasa tersebut dikalikan dengan $100%$.

Contoh.
1. Ubahlah pecahan berikut ke dalam bentuk persen.
a. $\dfrac{1}{4}$

b. $\dfrac{6}{25}$

2. Ubahlah bentuk persen berikut ke bentuk pecahan biasa.
a. $20$%
b. $75$%
c. $150$%
Jawab.
1. a. $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}\times 100$%=$25$%

b. $\dfrac{6}{25} = \dfrac{6}{25}\times 100$%=$24$%

2.a. $20$% $= \dfrac{20}{100}=\dfrac{20 : 20}{100 : 20}=\dfrac{1}{5}$

b. $75$% $= \dfrac{75}{100}=\dfrac{75 : 25}{100 : 25}=\dfrac{3}{4}$

c. $150$% $= \dfrac{150}{100}=\dfrac{150 : 50}{100 : 50}=\dfrac{3}{2}$

Permil

Permil adalah pecahan dengan penyebut $1.000$.

Permil biasanya digunakan untuk menyatakan salinitas. Misalnya, salinitas Laut Merah mencapai $40^o/oo$. Hal itu berarti setiap 1 kg air laut mengandung 40 g garam.Untuk mengubah pecahan biasa ke bentuk permil, dapat dilakukan dengan salah satu cara berikut.
a) Mengubah pecahan semula menjadi pecahan senilai dengan penyebut $1.000$. 
b) Pecahan biasa tersebut dikalikan dengan $1.000^o/oo$.

Contoh.
1. Ubah pecahan berikut ke dalam bentuk permil.
a. $\dfrac{3}{5}$

b. $\dfrac{5}{8}$

2. Ubah bentuk permil berikut ke bentuk pecahan biasa.
a. $25^o/oo$
b$1.500^o/oo$
Jawab.
1.a. $\dfrac{3}{5}=\dfrac{3\times 200}{5\times 200}=\dfrac{600}{1.000}=600^o/oo$

b. $\dfrac{5}{8}=\dfrac{5}{8}\times 1000^o/oo=625^o/oo$

2.a. $25^o/oo=\dfrac{25}{1.000}=\dfrac{25 : 25}{1.000 : 25}=\dfrac{1}{40}$

b. $1.500^o/oo=\dfrac{1.500}{1.000}=\dfrac{1.500 : 500}{1.000 : 500}=\dfrac{3}{2}$

Operasi Hitung Pada Bilangan Pecahan

Penjumlahan

Pecahan-pecahan yang penyebutnya sama dapat dijumlah dengan cara menjumlahkan pembilang-pembilangnya saja, sedangkan penyebutnya tidak dijumlahkan. Secara umum dapat dirumuskan : $$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}$$ Jika pecahan-pecahan yang akan dijumlahkan memiliki penyebut yang berbeda, terlebih dahulu samakan penyebutnya dengan cara mencari KPK dari penyebut-penyebut pecahan itu.

Contoh.
Hitunglah penjumlahan pecahan berikut ini.
a. $\dfrac{3}{7}+\dfrac{1}{7}$

b. $\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}$

Jawab.

a. $\dfrac{3}{7}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{3+1}{7}=\dfrac{4}{7}$

b. $\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{12}+\dfrac{8}{12}=\dfrac{11}{12}$

KPK dari $4$ dan $3$ adalah $12$

Pengurangan

Pecahan-pecahan yang penyebutnya sama dapat dikurangkan  dengan cara mengurangkan pembilang di sebelah kiri dengan pembilang pecahan di sebelah kanan, sedangkan penyebutnya tidak dikurangkankan. Secara umum dapat dirumuskan : $$\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c}$$ Jika pecahan-pecahan yang akan dikurangkan memiliki penyebut yang berbeda, terlebih dahulu samakan penyebutnya dengan cara mencari KPK dari penyebut-penyebut pecahan itu.

Contoh.
Tentukan hasil pengurangan pecahan berikut ini.
a. $\dfrac{5}{7}-\dfrac{2}{7}$

b. $\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{5}$

c. $4\dfrac{2}{3}-2\dfrac{1}{5}$

jawab.

a . $\dfrac{5}{7}-\dfrac{2}{7}=\dfrac{5-2}{7}=\dfrac{3}{7}$

b. $\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{15}{20}-\dfrac{4}{20}=\dfrac{11}{20}$

KPK dari $4$ dan $5$ adalah $20$.


\(\begin{array}{rcl}c.\, 4\dfrac{2}{3}-2\dfrac{1}{5} & = & (4-2)+(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{5})\\[10px] & = & 2+(\dfrac{10}{15}-\dfrac{3}{15})\\[10px] &= & 2+\dfrac{7}{15}\\[10px]& = & 2\dfrac{7}{15}\end{array}\)

KPK dari $3$ dan $5$ adalah $15$.

Perkalian

Operasi perkalian pecahan maksudnya perkalian suatu bilangan dengan pecahan. Dapat berupa perkalian bilangan bulat dengan pecahan atau perkalian pecahan dengan pecahan. Perkalian dua pecahan dapat dilakukan dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

$$\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$$

Contoh.
Tentukan hasil perkalian pecahan-pecahan berikut.
a. $\dfrac{3}{4}\times \dfrac{7}{10}$

b. $\dfrac{5}{6}\times \dfrac{6}{7}$

Jawab.
a. $\dfrac{3}{4}\times \dfrac{7}{10}=\dfrac{3\times 7}{4\times 10}=\dfrac{21}{40}$

\( \begin{array}{rcl}b.\   \dfrac{5}{6}\times \dfrac{6}{7}& = & \dfrac{5\times 6}{6\times 7} \\[10pt] & = & \dfrac{30}{42}\\[10pt] & = & \dfrac{30 : 6}{42 : 6}\\[10pt]& = & \dfrac{5}{7} \end{array}\)
Pembilang dan penyebut dibagi FPB dari $30, 42$, yaitu $6$.

Pembagian

Membagi dengan pecahan sama artinya mengalikan dengan kebalikan dari pecahan pembagi.$$\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}$$

Contoh.
Tentukan hasil pembagian pecahan-pecahan berikut.
a. $\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}$

b. $2 \div \dfrac{1}{4}$

c. $\dfrac{4}{5}\div 4$

Jawab.
a. $\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$

b. $2\div \dfrac{1}{4}=2\times \dfrac{4}{1}=8$

c. $\dfrac{4}{5}\div 4=\dfrac{4}{5}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{4\times 1}{5\times 4}=\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}$

Urutan Operasi Hitung

Jika Anda menemukan kalimat matematika yang mencampurkan operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat, maka kita gunakan aturan urutan operasi hitung berikut ini.
1. Selesaikan operasi pangkat.
2. Selesaikan operasi kali dan bagi.
3. Selesaikan operasi tambah dan kurang.
Operasi di dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu.

Evaluasi

Saatnya kita melakukan evaluasi terhadap materi bilangan pecahan yang telah dipelajari. Silakan kerjakan soal berikut ini dengan cara :
1. Klik tombol Start Quiz
2. Klik pada tombol jawaban yang benar.
3. Klik Next untuk berpindah ke soal berikutnya.
4. Klik Prev untuk kembali ke soal sebelumnya.
5. Klik Reset untuk memulai kembali.
6. Jika sudah selesai mengerjakan semua soal dan akan mengirim jawabannya, klik tombol Submit. 
7. Lihat perolehan skor yang tercantum di bagian bawah soal.
8. Nilai yang diperoleh adalah jumlah skor dibagi skor maksimal dikalikan 100.
Soal :

Penutup

Demikian artikel tentang materi pelajaran matematika pada subbab bilangan pecahan. Jika ada kesalahan mohon dikoreksi dan jika ada saran silakan tuliskan di sini. Semoga bermanfaat. Terima kasih.

Mau donasi lewat mana?

Paypal
Bank Rakyat Indonesia - An. Aan Triono / Rek : 0357-01-132169-50-3
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi sedikit donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
https://blog.choipanwendy.com