B. Bilangan Berpangkat Bulat Positif
Definisi :
Jika $a\in R$ ( bilangan real) dan $n$ adalah bilangan bulat,
maka $a^n$ ( dibaca $a$ pangkat $n$) didefinisikan sebagai
perkalian berulang $a$ sebanyak $n$ kali ( faktor).
$$a^n=\underbrace{a+a+ \cdots +a}_{{n\ \text{kali}}}$$ $a^n$ disebut bilangan
berpangkat, $a$ disebut bilangan pokok, dan $n$ disebut pangkat (
eksponen).
Contoh :
Nyatakan bilangan-bilangan berpangkat berikut dalam perkalian berulang,
kemudian hitung hasilnya.
a. $2^5$
b. $(-3)^2$
c. $(0,5)^4$
d. $(-4)^3$
Jawab :
a. $2^5=2 \times 2\times 2\times 2\times 2=32$
b. $(-3)^2=(-3)\times (-3)=9$
c. $(0,5)^4=(0,5)\times (0,5)\times (0,5)\times (0,5)=(0,0625)$
d. $(-4)^3=(-4)\times (-4)\times(-4)=-64$
C. Sifat-Sifat Operasi Bilangan berpangkat
Sifat-sifat operasi bilangan berpangkat meliputi :
1. Sifat Perkalian
$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$
dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif.
Contoh :
Sederhanakan bentuk-bentuk perkalian berikut.
1. $6^3 \times 6^4$
2. $(-4)\times (-4)^2$
3. $5^2\times 3^3\times 2$
4. $7a^3\times b^4 \times 3a^2 \times b$
Jawab :
1. $6^3\times 6^4=6^{3+4}=6^7$
2. $(-4)\times (-4)^2=(-4)^{1+2}=(-4)^3$
3. Karena bilangan pokoknya tidak sama maka bentuk tersebut tidak dapat
disederhanakan.
\(\begin{array}{ccl}4.\ 7a^3\times b^4\times 3a^2\times b& = &
7a^3\times 3a^2\times b^4\times b \\[10pt] & = & 21a^{3+2}b^{4+1} \\[10pt]
&=&21a^5b^5\end{array}\)
2. Sifat Pembagian$$\frac {a^m}{a^n}=a^{m-n}$$ dengan $a$ bilangan real
yang tidak nol dan $m, n$ bilangan bulat positif yang memenuhi $m>n$.
Contoh :
Sederhanakan pembagian-pembagian berikut.
1. $\dfrac{6^{12}}{6^{10}}$
2. $\dfrac{9^3}{6^2}$
3. $\dfrac{(-3)^4\times (-3)^3}{(-3)^2}$
Jawab :
1. $\dfrac{6^{12}}{6^{10}}=6^{12-10}=6^2$
2. Karena bilangan pokoknya tidak sama, maka pembagian tersebut tidak dapat
disederhanakan.
$3.\ \dfrac{(-3)^4\times
(-3)^3}{(-3)^2}=\dfrac{(-3)^{4+3}}{(-3)^2}=\dfrac{(-3)^7}{(-3)^2}=(-3)^{7-2}=(-3)^5$
3. Sifat Perpangkatan$$(a^m)^n=a^{m\times n}$$
Contoh :
Sederhanakan perpangkatan-perpangkatan berikut.
1. $(5^4)^2$
2. $\dfrac{2^5\times (2^3)^2}{2^4}$
Jawab :
1. $(5^4)^2=5^{4\times 2}=5^8$
\(\begin{array}{ccl}2.\ \dfrac{2^5\times (2^3)^2}{2^4}&=&\dfrac{2^5\times
2^6}{2^4}\\[11pt]&=&\dfrac{2^{5+6}}{2^4}\\[11pt]&=&\dfrac{2^{11}}{2^4}\\[11pt]&=&2^{11-4}\\[11pt]&=&2^7\end{array}\)
4. Sifat Penjumlahan dan Pengurangan$$a^n + a^m = a^n (1+a^{m-n})$$
dengan $a$ bilangan real $m, n$ bilangan bulat positif yang memenuhi
$m\ge n$. $$a^n-a^m=a^n (1-a{m-n})\ atau\ a^m-a^n=\\a^n (a^{m-n}-1)$$
dengan $a$ bilangan bulat dan $m, n$ bilangan bulat positif yang
memenuhi $m\ge n$.
Contoh :
Sederhanakan penjumlahan dan pengurangan berikut.
1. $(-8)^3 + (-8)^5$
2. $7^7-7^3$
Jawab :
\(\begin{array}{ccl}1.\ (-8)^3 +
(-8)^5&=&(-8)^3+(-8)^{3+2}\\[10pt]&=&(-8)^3+(-8)^3 .
(-8)^2\\[10pt]&=&(-8)^3(1+(-8)^2)\end{array}\)
\( \begin{array}{ccl}2.\ 7^7-7^3&=&7^{4+3}-7^3\\[10pt]&=&7^4 .
7^3-7^3\\[10pt]&=&7^3(7^4-1)\end{array}\)
D. Bilangan berpangkat Bulat Negatif
Perhatikan contoh berikut.
$$\frac{2^2}{2^4}=\frac{2\times 2}{2 \times 2 \times 2 \times
2}=\frac{1}{2\times 2}=\frac{1}{2^2}\ \text{... i})$$
$$\frac{2^2}{2^4}=2^{2-4}=2^{-2} \text{... ii})$$
Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa
$\frac{1}{2^2}=2^{-2}$.
Definisi : $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$ dengan $a$ bilangan real, $a\ne 0$
dan $n$ bilangan bulat positif.
Contoh :
1. Tuliskan dalam bentuk pangkat positif.
a. $3^{-5}$
b. $(-8)^{-4}$
c. $a^{-2}$
2. Tuliskan dalam bentuk pangkat negatif.
a. $\dfrac{1}{7^2}$
b. $\dfrac{1}{2^6}$
c. $\dfrac{1}{a^9}$
Jawab :
1. a. $3^{-5}=\dfrac{1}{3^5}$
b. $(-8)^{-4}=\dfrac{1}{(-8)^4}$
c. $a^{-2}=\dfrac{1}{a^2}$
2. a. $\dfrac{1}{7^2}=7^{-2}$
b. $\dfrac{1}{a^6}=2^{-6}$
c. $\dfrac{1}{a^9}=a^{-9}$
Catatan : Sifat-sifat operasi bilangan berpangkat positif berlaku juga
untuk bilangan berpangkat negatif dengan $a, b$ bilangan real dan $m, n$
bilangan bulat negatif.
E. Bilangan Berpangkat Nol
Perhatikan contoh berikut.
$$\frac{3^2}{3^2}=\frac{3\times 3}{3 \times 3}=\frac{9}{9}=1
\ \text{...i})$$
$$\frac{3^2}{3^2}=\frac{3^2}{3^2}=3^{2-2}=3^0\ \text{...ii})$$
Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa
$1=3^0$.
Definisi : $$a^0=1$$ dengan $a$ bilangan real, dan $a\ne 0$.
Contoh :
Hitunglah perpangkatan-perpangkatan berikut.
a. $(5)^0$
b. $(12)^0$
c. $34a^2 b^0$
Jawab :
a. $(5)^0=1$
b. $(12)^0=1$
c. $34a^2 b^0=34a^2 . 1=34a^2$
Catatan : Sifat-sifat bilangan berpangkat positif dan negatif berlaku
juga untuk bilangan berpangkat nol dengan $a$ bilangan real, $a\ne 0$ dan
$m - n = 0$
F. Bilangan Pecahan Berpangkat Bulat
Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk pecahan disebut
bilangan rasional. Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan bulat berpangkat
bulat berlaku juga pada bilangan rasional berpangkat bulat.
Contoh :
Hitunglah perpangkatan bilangan rasional berikut.
1. $(\dfrac{2}{3})^3$
2. $\dfrac{(\dfrac{2}{7})^5 \times (\dfrac{2}{7})^2}{(\dfrac{2}{7})^6}$
Jawab :
1. $(\dfrac{2}{3})^3=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3}\times
\dfrac{2}{3}=\dfrac{2^3}{3^3}=\dfrac{8}{27}$
2. $\dfrac{(\dfrac{2}{7})^5 \times
(\dfrac{2}{7})^2}{(\dfrac{2}{7})^6}=\dfrac{(\dfrac{2}{7})^{5+2}}{(\dfrac{2}{7})^6}=\dfrac{(\dfrac{2}{7})^7}{(\dfrac{2}{7})^6}=(\dfrac{2}{7})^{7-6}=(\dfrac{2}{7})$
G. Evaluasi
Untuk mengukur kemampuan kalian dalam memahami materi bilangan berpangkat
ini, silakan dikerjakan evaluasi berikut ini. Caranya adalah sebagai
berikut :
1. Klik pada tombol yang merupakan jawaban benar.
2. Klik Next untuk berpindah ke soal selanjutnya.
3. Klik Submit untuk mengirimkan jawaban.
4. Lihat skor yang diperoleh pada bagian bawah soal.
5. Nilai yang diperoleh adalah skor yang diperoleh dibagi skor maksimal
dikalikan 100.
5. KKM untuk materi ini adalah 70.
6. Waktu untuk mengerjakan soal adalah 30 menit.
H. Penutup
Demikian artikel tentang bilangan berpangkat yang diajarkan di kelas IX
SMP semester ganjil ini. Jika ada kesalahan silakan dikoreksi, jika ada
masukan silakan tuliskan di sini. Semoga bermanfaat. Terima kasih.
2 komentar
image quote pre code