Bilangan Berpangkat

A. Pengantar 

bilangan berpangkat smp kelas 9
Dalam kehidupan sehari-hari, perhitungan bilangan berpangkat banyak digunakan. Contohnya sebagai berikut. Frekuensi gelombang televisi $10^{56}$ putaran per detik. Jika besar frekuensi sinar X 10.000 kali frekuensi gelombang televisi, berapa besar frekuensi sinar X? Untuk menjawabnya, kamu dapat menggunakan alat pengukur besar frekuensi suatu gelombang, yaitu osiloskop. Secara matematis, besar frekuensi sinar X dapat ditentukan menggunakan sifat perkalian bilangan berpangkat.

B. Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Definisi :
Jika $a\in R$ ( bilangan real) dan $n$ adalah bilangan bulat, maka $a^n$ ( dibaca $a$ pangkat $n$) didefinisikan sebagai perkalian berulang $a$ sebanyak $n$ kali ( faktor). $$a^n=\underbrace{a+a+ \cdots +a}_{{n\ \text{kali}}}$$ $a^n$ disebut bilangan berpangkat, $a$ disebut bilangan pokok, dan $n$ disebut pangkat ( eksponen).

Contoh :
Nyatakan bilangan-bilangan berpangkat berikut dalam perkalian berulang, kemudian hitung hasilnya.
a. $2^5$
b. $(-3)^2$
c. $(0,5)^4$
d. $(-4)^3$
Jawab :
a. $2^5=2 \times 2\times 2\times 2\times 2=32$
b. $(-3)^2=(-3)\times (-3)=9$
c. $(0,5)^4=(0,5)\times (0,5)\times (0,5)\times (0,5)=(0,0625)$

d. $(-4)^3=(-4)\times (-4)\times(-4)=-64$

C. Sifat-Sifat Operasi Bilangan berpangkat

Sifat-sifat operasi bilangan berpangkat meliputi :

1. Sifat Perkalian $$a^m \times a^n = a^{m+n}$$ dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif.

Contoh :
Sederhanakan bentuk-bentuk perkalian berikut.
1. $6^3 \times 6^4$
2. $(-4)\times (-4)^2$
3. $5^2\times 3^3\times 2$
4. $7a^3\times b^4 \times 3a^2 \times b$
Jawab :
1. $6^3\times 6^4=6^{3+4}=6^7$
2. $(-4)\times (-4)^2=(-4)^{1+2}=(-4)^3$
3. Karena bilangan pokoknya tidak sama maka bentuk tersebut tidak dapat disederhanakan.
 
\(\begin{array}{ccl}4.\ 7a^3\times b^4\times 3a^2\times b& = & 7a^3\times 3a^2\times b^4\times b \\[10pt] & = & 21a^{3+2}b^{4+1} \\[10pt] &=&21a^5b^5\end{array}\)

2. Sifat Pembagian$$\frac {a^m}{a^n}=a^{m-n}$$ dengan $a$ bilangan real yang tidak nol dan $m, n$ bilangan bulat positif yang memenuhi $m>n$.

Contoh :

Sederhanakan pembagian-pembagian berikut.
1. $\dfrac{6^{12}}{6^{10}}$

2. $\dfrac{9^3}{6^2}$

3. $\dfrac{(-3)^4\times (-3)^3}{(-3)^2}$

Jawab :

1. $\dfrac{6^{12}}{6^{10}}=6^{12-10}=6^2$

2. Karena bilangan pokoknya tidak sama, maka pembagian tersebut tidak dapat disederhanakan.

$3.\ \dfrac{(-3)^4\times (-3)^3}{(-3)^2}=\dfrac{(-3)^{4+3}}{(-3)^2}=\dfrac{(-3)^7}{(-3)^2}=(-3)^{7-2}=(-3)^5$

3. Sifat Perpangkatan$$(a^m)^n=a^{m\times n}$$

Contoh :
Sederhanakan perpangkatan-perpangkatan berikut.
1. $(5^4)^2$

2. $\dfrac{2^5\times (2^3)^2}{2^4}$

Jawab :

1. $(5^4)^2=5^{4\times 2}=5^8$

 
\(\begin{array}{ccl}2.\ \dfrac{2^5\times (2^3)^2}{2^4}&=&\dfrac{2^5\times 2^6}{2^4}\\[11pt]&=&\dfrac{2^{5+6}}{2^4}\\[11pt]&=&\dfrac{2^{11}}{2^4}\\[11pt]&=&2^{11-4}\\[11pt]&=&2^7\end{array}\)

4. Sifat Penjumlahan dan Pengurangan$$a^n + a^m = a^n (1+a^{m-n})$$ dengan $a$ bilangan real $m, n$ bilangan bulat positif yang memenuhi $m\ge n$. $$a^n-a^m=a^n (1-a{m-n})\ atau\ a^m-a^n=\\a^n (a^{m-n}-1)$$ dengan $a$ bilangan bulat dan $m, n$ bilangan bulat positif yang memenuhi $m\ge n$.

Contoh :
Sederhanakan penjumlahan dan pengurangan berikut.
1. $(-8)^3 + (-8)^5$

2. $7^7-7^3$

Jawab :

 
\(\begin{array}{ccl}1.\ (-8)^3 + (-8)^5&=&(-8)^3+(-8)^{3+2}\\[10pt]&=&(-8)^3+(-8)^3 . (-8)^2\\[10pt]&=&(-8)^3(1+(-8)^2)\end{array}\)

 
\( \begin{array}{ccl}2.\ 7^7-7^3&=&7^{4+3}-7^3\\[10pt]&=&7^4 . 7^3-7^3\\[10pt]&=&7^3(7^4-1)\end{array}\)

D. Bilangan berpangkat Bulat Negatif

Perhatikan contoh berikut.
$$\frac{2^2}{2^4}=\frac{2\times 2}{2 \times 2 \times 2 \times 2}=\frac{1}{2\times 2}=\frac{1}{2^2}\ \text{... i})$$

$$\frac{2^2}{2^4}=2^{2-4}=2^{-2} \text{... ii})$$ 
Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa $\frac{1}{2^2}=2^{-2}$.

Definisi : $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$ dengan $a$ bilangan real, $a\ne 0$ dan $n$ bilangan bulat positif.

Contoh :
1. Tuliskan dalam bentuk pangkat positif.
a. $3^{-5}$
b. $(-8)^{-4}$
c. $a^{-2}$
2. Tuliskan dalam bentuk pangkat negatif.
a. $\dfrac{1}{7^2}$

b. $\dfrac{1}{2^6}$

c. $\dfrac{1}{a^9}$

Jawab :

1. a. $3^{-5}=\dfrac{1}{3^5}$

b. $(-8)^{-4}=\dfrac{1}{(-8)^4}$

c. $a^{-2}=\dfrac{1}{a^2}$

2. a. $\dfrac{1}{7^2}=7^{-2}$

b. $\dfrac{1}{a^6}=2^{-6}$

c. $\dfrac{1}{a^9}=a^{-9}$

Catatan : Sifat-sifat operasi bilangan berpangkat positif berlaku juga untuk bilangan berpangkat negatif dengan $a, b$ bilangan real dan $m, n$ bilangan bulat negatif.

E. Bilangan Berpangkat Nol

Perhatikan contoh berikut.
$$\frac{3^2}{3^2}=\frac{3\times 3}{3 \times 3}=\frac{9}{9}=1 \ \text{...i})$$
$$\frac{3^2}{3^2}=\frac{3^2}{3^2}=3^{2-2}=3^0\ \text{...ii})$$ 
Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa $1=3^0$.

Definisi : $$a^0=1$$ dengan $a$ bilangan real, dan $a\ne 0$.

Contoh :
Hitunglah perpangkatan-perpangkatan berikut.
a. $(5)^0$
b. $(12)^0$
c. $34a^2 b^0$
Jawab :
a. $(5)^0=1$
b. $(12)^0=1$
c. $34a^2 b^0=34a^2 . 1=34a^2$

Catatan : Sifat-sifat bilangan berpangkat positif dan negatif berlaku juga untuk bilangan berpangkat nol dengan $a$ bilangan real, $a\ne 0$ dan $m - n = 0$

F. Bilangan Pecahan Berpangkat Bulat

Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk pecahan disebut bilangan rasional. Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan bulat berpangkat bulat berlaku juga pada bilangan rasional berpangkat bulat. 
Contoh :
Hitunglah perpangkatan bilangan rasional berikut.
1. $(\dfrac{2}{3})^3$

2. $\dfrac{(\dfrac{2}{7})^5 \times (\dfrac{2}{7})^2}{(\dfrac{2}{7})^6}$

Jawab :

1. $(\dfrac{2}{3})^3=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{2^3}{3^3}=\dfrac{8}{27}$

2. $\dfrac{(\dfrac{2}{7})^5 \times (\dfrac{2}{7})^2}{(\dfrac{2}{7})^6}=\dfrac{(\dfrac{2}{7})^{5+2}}{(\dfrac{2}{7})^6}=\dfrac{(\dfrac{2}{7})^7}{(\dfrac{2}{7})^6}=(\dfrac{2}{7})^{7-6}=(\dfrac{2}{7})$

G. Evaluasi

Untuk mengukur kemampuan kalian dalam memahami materi bilangan berpangkat ini, silakan dikerjakan evaluasi berikut ini. Caranya adalah sebagai berikut :
1. Klik pada tombol yang merupakan jawaban benar.
2. Klik Next untuk berpindah ke soal selanjutnya.
3. Klik Submit untuk mengirimkan jawaban.
4. Lihat skor yang diperoleh pada bagian bawah soal.
5. Nilai yang diperoleh adalah skor yang diperoleh dibagi skor maksimal dikalikan 100.
5. KKM untuk materi ini adalah 70.
6. Waktu untuk mengerjakan soal adalah 30 menit.

H. Penutup

Demikian artikel tentang bilangan berpangkat yang diajarkan di kelas IX SMP semester ganjil ini. Jika ada kesalahan silakan dikoreksi, jika ada masukan silakan tuliskan di sini. Semoga bermanfaat. Terima kasih.

Mau donasi lewat mana?

Paypal
Bank Rakyat Indonesia - An. Aan Triono / Rek : 0357-01-132169-50-3
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi sedikit donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
https://blog.choipanwendy.com