Tripel Pythagoras
Seperti telah dibahas sebelumnya pada materi
Teorema Pythagoras
bahwa tiga bilangan bulat positif $a, b$, dan $c$ disebut tripel (tigaan)
Pythagoras yang memenuhi $a^2+b^2=c^2$, jika $(a, b, c)$ mempunyai FPB =
1.
Teorema 1:
Misal $m>n>0$ merupakan bilangan bulat positif, maka tripel
Pythagorasnya adalah $(a, b, c)$ = $(2mn, m^2-n^2, m^2+n^2)$
Bukti :
$\begin{aligned}
a^2&=4m^2n^2\\
b^2&=(m^2-n^2)^2=m^4+n^4-2m^2n^2\\
a^2+b^2&=4m^2n^2+m^4+n^4-2m^2n^2\\
&=m^4+2m^2n^2+n^4\\
&=(m^2+n^2)^2\\
a^2+b^2&=c^2
\end{aligned}$
Untuk mempermudah penentuan luas dan keliling segitiga siku-siku
dipergunakan formula berikut.
Luas = $\frac{1}{2} (2mn)(m^2-n^2)=mn(m^2-n^2)$
Keliling = $2mn+m^2-n^2+m^2+n^2=2mn+2m^2=2m(m+n)$
Dalam kondisi tertentu luas $\bigtriangleup$=keliling $\bigtriangleup$,
diperoleh keadaan $mn(m^2-n^2)=2mn(m+n)$
$n(m-n)=2$
Perhatikan hubungan $n(m-n)=2$.
Untuk :
(i) $m=3, n=1$,
Luas=Keliling=24.
(ii) $m=3, n=2$,
Luas=Keliling=30.
Jenis-jenis Tripel Pythagoras
Jenis-jenis tripel Pythagoras ada $3$ macam, yaitu :
1. Tripel Pythagoras Primitif (TPP)
tripel Pythagoras $(a, b, c)$ disebut primitif jika tidak ada faktor
persekutuan atau FPB $(a, b, c)=1$. Hal tersebut dikembangkan lagi menjadi
sifat-sifat berikut ini.
(i) Jika $(a, b, c)$ merupakan
TPP, maka paling sedikit satu diantara $a, b,$ atau $c$ merupakan bilangan
ganjil.
(ii) Jika $(a, b, c)$
merupakan TPP, maka salah satu diantara $a$ atau $b$ merupakan bilangan
genap dan $c$ harus bilangan ganjil.
2. Tripel Pythagoras Primitif Kembar(TPPK)
Tripel Pythagoras $(a, b, c)$ disebut primitif kembar apabila selisih
hipotenusa dengan panjang sisi tegak terpanjangnya adalah satu.
3. Tripel Pythagoras Komposit (TPK)
Tripel Pythagoras $(a, b, c)$ disebut komposit apabila ada sebuah faktor
persekutuan untuk semua bilangan bulat positif $a, b$, dan $c$.
Untuk tercapai kondisi TPPK dari $a=2mn, b=m^2-n^2$, dan $c=m^2+n^2$
adalah sebagai berikut.
(i) $a>b$, berarti $a=2mn$
dan $c=m^2+n^2$ dengan syarat :
$\begin{aligned}
c&=a+1\\
m^2+n^2&=2mn+1\\
m^2-2mn+n^2&=1\\
(m-n)^2&=1\\
m-n&=1\\
m&=n+1
\end{aligned}$
Misal, $m, n=8, 7$ dan $m, n=9, 8$ maka $c>100$.
(ii) $b>a$, berarti
$b=m^2-n^2$ dan $c=m^2+n^2$ dengan syarat :
$\begin{aligned}
c&=b+1\\
m^2+n^2&=m^2-n^2+1\\
2n^2&=1\\
n^2&=\frac{1}{2}
\end{aligned}$
Karena $n$ merupakan bilangan bulat positif, maka kondisi (ii)
tidak mempunyai solusi.
Contoh 1.
Buktikan jika salah satu dari $a$ atau $b$ merupakan bilangan genap dari
tripel Pythagoras primitif $(a, b, c)$, maka $c$ harus merupakan bilangan
ganjil.
Penyelesaian.
Asumsikan $c$ merupakan bilangan genap dan $a, b$ bilangan ganjil.(pembuktian terbalik)
Berarti $c=2n, a=2p+1$dan $b=2m=1$. Ketiganya harus memenuhi teorema
Pythagoras.
$\begin{aligned}
a^2+b^2&=c^2\\
(2p+1)^2+(2m+1)^2&=(2n)^2\\
4p^2+4p+1+4m^2+4m+1&=4n^2\\
p^2+p+m^2+m+\frac{1}{2}&=n^2
\end{aligned}$
Ternyata $n$ bukan bilangan asli, melainkan bilangan rasional, berarti
salah. Hal sebaliknya berarti benar, (terbukti).
Contoh 2.
Carilah semua tripel Pythagoras primitif $(a, b, c)$ dengan $b$ genap dan
$c\leq 40$.
Penyelesaian.
Asumsikan $a=m^2-n^2, b=2mn$ (genap), dan $c=m^2+n^2$ dengan kondisi $m^2+n^2\leq 40$.
Karena $(a, b, c)$ merupakan TPP berarti FPB $(a, b, c)=1$ dengan $m$ dan
$n$ tidak mempunyai faktor persekutuan, serta $m>n$ karena $a, b, c$
merupakan bilangan bulat positif. Karena hanya $b$ yang merupakan bilangan
genap, berarti $m$ dan $n$ tidak boleh keduanya ganjil. Perhatikan tabel
berikut ini.
| m | n | $a=m^2-n^2$ | $b=2mn$ | $c=m^2+n^2$ | TPP (a, b, c) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 3 | 4 | 5 | (3, 4, 5) |
| 3 | 2 | 5 | 12 | 13 | (5, 12, 13) |
| 4 | 1 | 15 | 8 | 17 | (15, 8, 17) |
| 4 | 3 | 7 | 24 | 25 | (7, 24, 25) |
| 5 | 2 | 21 | 20 | 29 | (21, 20, 29) |
| 6 | 1 | 35 | 12 | 37 | (35, 12, 37) |
Cara menentukan Tripel Pythagoras
Aljabar dapat digunakan untuk menentukan himpunan bilangan yang
merupakan tripel Pythagoras. Aturan dalam menentukan tripel Pythagoras
adalah :
- Tetapkan dua bilangan asli, misalnya $m$ dan $n$ yang memenuhi $m>n$
- Hitunglah masing-masing nilai $m^2-n^2, 2mn$, dan $m^2+n^2$
- Hasil dari perhitungan nilai : $m^2-n^2, 2mn$, dan $m^2+n^2$, merupakan tripel Pythagoras.
Contoh dari tripel Pythagoras disajikan dalam tabel berikut.
| m | n | $m^2-n^2$ | $2mn$ | $m^2+n^2$ | Tripel Pythagoras |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 3 | 4 | 5 | 3, 4, 5 |
| 3 | 1 | 8 | 6 | 10 | 8, 6, 10 |
| 3 | 2 | 5 | 12 | 13 | 15, 8, 17 |
| 4 | 3 | 7 | 24 | 25 | 7, 24, 25 |
| 5 | 4 | 9 | 40 | 41 | 9, 40, 41 |
| 6 | 5 | 11 | 60 | 61 | 11, 60, 61 |
Catatan : Tripel Pythagoras juga berlaku untuk kelipatannya. Selain
itu, tripel Pythagoras juga terdapat bilangan yang bukan bulat
(pecahan atau irasional),
misalnya $3, 3, 3\sqrt{2}$ atau $\frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}$.
Demikian materi tentang tripel Pythagoras, jika ada perbaikan atau
saran, silakan tuliskan di kolom komentar. Terima kasih, semoga
bermanfaat 😊🙏.
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
1 komentar
Kelas:8c
image quote pre code