Tripel Pythagoras

Seperti telah dibahas sebelumnya pada materi Teorema Pythagoras bahwa tiga bilangan bulat positif $a, b$, dan $c$ disebut tripel (tigaan) Pythagoras yang memenuhi $a^2+b^2=c^2$, jika $(a, b, c)$ mempunyai FPB = 1.
Teorema 1:
Misal $m>n>0$ merupakan bilangan bulat positif, maka tripel Pythagorasnya adalah $(a, b, c)$ = $(2mn, m^2-n^2, m^2+n^2)$
Bukti :
$\begin{aligned} a^2&=4m^2n^2\\ b^2&=(m^2-n^2)^2=m^4+n^4-2m^2n^2\\ a^2+b^2&=4m^2n^2+m^4+n^4-2m^2n^2\\ &=m^4+2m^2n^2+n^4\\ &=(m^2+n^2)^2\\ a^2+b^2&=c^2 \end{aligned}$
Untuk mempermudah penentuan luas dan keliling segitiga siku-siku dipergunakan formula berikut.
Luas = $\frac{1}{2} (2mn)(m^2-n^2)=mn(m^2-n^2)$
Keliling = $2mn+m^2-n^2+m^2+n^2=2mn+2m^2=2m(m+n)$
Dalam kondisi tertentu luas $\bigtriangleup$=keliling $\bigtriangleup$, diperoleh keadaan $mn(m^2-n^2)=2mn(m+n)$

$n(m-n)=2$

Perhatikan hubungan $n(m-n)=2$.
Untuk :
(i)  $m=3, n=1$, Luas=Keliling=24.
(ii) $m=3, n=2$, Luas=Keliling=30.

Jenis-jenis Tripel Pythagoras
Jenis-jenis tripel Pythagoras ada $3$ macam, yaitu :
1. Tripel Pythagoras Primitif (TPP)
tripel Pythagoras $(a, b, c)$ disebut primitif jika tidak ada faktor persekutuan atau FPB $(a, b, c)=1$. Hal tersebut dikembangkan lagi menjadi sifat-sifat berikut ini.
(i) Jika $(a, b, c)$ merupakan TPP, maka paling sedikit satu diantara $a, b,$ atau $c$ merupakan bilangan ganjil.
(ii) Jika $(a, b, c)$ merupakan TPP, maka salah satu diantara $a$ atau $b$ merupakan bilangan genap dan $c$ harus bilangan ganjil.
2. Tripel Pythagoras Primitif Kembar(TPPK)
Tripel Pythagoras $(a, b, c)$ disebut primitif kembar apabila selisih hipotenusa dengan panjang sisi tegak terpanjangnya adalah satu.
3. Tripel Pythagoras Komposit (TPK)
Tripel Pythagoras $(a, b, c)$ disebut komposit apabila ada sebuah faktor persekutuan untuk semua bilangan bulat positif $a, b$, dan $c$.
Untuk tercapai kondisi TPPK dari $a=2mn, b=m^2-n^2$, dan $c=m^2+n^2$ adalah sebagai berikut.
(i) $a>b$, berarti $a=2mn$ dan $c=m^2+n^2$ dengan syarat :
$\begin{aligned} c&=a+1\\ m^2+n^2&=2mn+1\\ m^2-2mn+n^2&=1\\ (m-n)^2&=1\\ m-n&=1\\ m&=n+1 \end{aligned}$
Misal, $m, n=8, 7$ dan $m, n=9, 8$ maka $c>100$.
(ii) $b>a$, berarti $b=m^2-n^2$ dan $c=m^2+n^2$ dengan syarat :
$\begin{aligned} c&=b+1\\ m^2+n^2&=m^2-n^2+1\\ 2n^2&=1\\ n^2&=\frac{1}{2} \end{aligned}$
Karena $n$ merupakan bilangan bulat positif, maka kondisi (ii) tidak mempunyai solusi.
Contoh 1.
Buktikan jika salah satu dari $a$ atau $b$ merupakan bilangan genap dari tripel Pythagoras primitif $(a, b, c)$, maka $c$ harus merupakan bilangan ganjil.
Penyelesaian.
Asumsikan $c$ merupakan bilangan genap dan $a, b$ bilangan ganjil.(pembuktian terbalik)
Berarti $c=2n, a=2p+1$dan $b=2m=1$. Ketiganya harus memenuhi teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} a^2+b^2&=c^2\\ (2p+1)^2+(2m+1)^2&=(2n)^2\\ 4p^2+4p+1+4m^2+4m+1&=4n^2\\ p^2+p+m^2+m+\frac{1}{2}&=n^2 \end{aligned}$
Ternyata $n$ bukan bilangan asli, melainkan bilangan rasional, berarti salah. Hal sebaliknya berarti benar, (terbukti).
Contoh 2.
Carilah semua tripel Pythagoras primitif $(a, b, c)$ dengan $b$ genap dan $c\leq 40$.
Penyelesaian.
Asumsikan $a=m^2-n^2, b=2mn$ (genap), dan $c=m^2+n^2$ dengan kondisi $m^2+n^2\leq 40$.
Karena $(a, b, c)$ merupakan TPP berarti FPB $(a, b, c)=1$ dengan $m$ dan $n$ tidak mempunyai faktor persekutuan, serta $m>n$ karena $a, b, c$ merupakan bilangan bulat positif. Karena hanya $b$ yang merupakan bilangan genap, berarti $m$ dan $n$ tidak boleh keduanya ganjil. Perhatikan tabel berikut ini.
m n $a=m^2-n^2$ $b=2mn$ $c=m^2+n^2$ TPP (a, b, c)
2 1 3 4 5 (3, 4, 5)
3 2 5 12 13 (5, 12, 13)
4 1 15 8 17 (15, 8, 17)
4 3 7 24 25 (7, 24, 25)
5 2 21 20 29 (21, 20, 29)
6 1 35 12 37 (35, 12, 37)

Cara menentukan Tripel Pythagoras
Aljabar dapat digunakan untuk menentukan himpunan bilangan yang merupakan tripel Pythagoras. Aturan dalam menentukan tripel Pythagoras adalah :
  • Tetapkan dua bilangan asli, misalnya $m$ dan $n$ yang memenuhi $m>n$
  • Hitunglah masing-masing nilai $m^2-n^2, 2mn$, dan $m^2+n^2$
  • Hasil dari perhitungan nilai : $m^2-n^2, 2mn$, dan $m^2+n^2$, merupakan tripel Pythagoras.
Contoh dari tripel Pythagoras disajikan dalam tabel berikut.
m n $m^2-n^2$ $2mn$ $m^2+n^2$ Tripel Pythagoras
2 1 3 4 5 3, 4, 5
3 1 8 6 10 8, 6, 10
3 2 5 12 13 15, 8, 17
4 3 7 24 25 7, 24, 25
5 4 9 40 41 9, 40, 41
6 5 11 60 61 11, 60, 61
Catatan : Tripel Pythagoras juga berlaku untuk kelipatannya. Selain itu, tripel Pythagoras juga terdapat bilangan yang bukan bulat (pecahan atau irasional), misalnya $3, 3, 3\sqrt{2}$ atau $\frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}$.
Demikian materi tentang tripel Pythagoras, jika ada perbaikan atau saran, silakan tuliskan di kolom komentar. Terima kasih, semoga bermanfaat 😊🙏.

Mau donasi lewat mana?

Paypal
Bank Rakyat Indonesia - An. Aan Triono / Rek : 0357-01-132169-50-3
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi sedikit donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
https://blog.choipanwendy.com