Teorema Pythagoras

 A. Kompetensi Dasar
3.6 Menjelaskan dan membuktikan teorema Pythagoras dan tripel Pythagoras.
4.6 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema Pythagoras dan tripel Pythagoras.

B. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi teorema Pythagoras, diharapkan dapat :
1. Memeriksa kebenaran teorema Pythagoras.
2. Menentukan panjang sisi segitiga siku-siku jika panjang dua sisi diketahui.
3. Menentukan jenis segitiga berdasarkan panjang sisi-sisi yang diketahui.
4. Menemukan dan menguji tiga bilangan apakah termasuk tripel Pythagoras atau bukan tripel Pythagoras.
5. Menerapkan teorema Pythagoras untuk menyelesaikan permasalahan nyata.

C. Materi
1. Menemukan Teorema Pythagoras
Perhatikan gambar berikut!
Segitiga $ABC$ siku-siku di $B$. Sisi dihadapan sudut siku-siku disebut sisi miring (hipotenusa), sedangkan sisi yang lain disebut sisi siku-siku. Panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku mempunyai hubungan spesial tertentu. Bagaimana hubungannya?
Perhatikan gambar berikut!



Gambar pada (a) dan (b) dibuat dari pasangan persegi besar yang kongruen. Dari gambar tersebut diperoleh :
a. Luas persegi besar = luas persegi dalam + luas empat segitiga siku-siku
= $a^2+4\times \frac{1}{2}bc$
= $a^2+2bc$
b. Luas persegi besar = luas dua persegi dalam + luas dua persegi panjang
= $b^2+c^2+bc+bc$
= $b^2+c^2+2bc$
Karena kedua persegi besar mempunyai luas yang sama, maka berlaku :
$\Leftrightarrow a^2+2bc=b^2+c^2+2bc$
$\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2$
Selanjutnya, jika persegi-persegi tersebut yang luasnya $a^2$, $b^2$, dan $c^2$ disusun sedemikian rupa maka akan tampak seperti gambar (c) di atas. Persegi yang luasnya $a^2$ terletak pada hipotenusa (sisi miring), sedangkan persegi-persegi yang luasnya $b^2$ dan $c^2$ terletak pada kedua sisi sikunya. Karena $a^2 = b^2+c^2$ berarti luas persegi yang terletak pada hipotenusa sama dengan jumlah luas persegi yang terletak pada kedua sisi siku-sikunya.

Teorema Pythagoras : pada segitiga siku-siku berlaku, luas persegi pada hipotenusa sama dengan jumlah luas persegi pada kedua sisi siku-sikunya.

Perhatikan gambar berikut!




Dengan memperhatikan gambar (a) di atas tampak bila persegi-persegi dibuang sedemikian rupa sehingga tampak seperti gambar (b), yaitu segitiga siku-siku yang panjang hipotenusanya (sisi miring) adalah $a$, dan panjang kedua sisi sikunya adalah $b$ dan $c$. Menurut teorema Pythagoras pada gambar (a) berlaku $a^2 = b^2 + c^2$. dengan demikian, teorema Pythagoras untuk segitiga siku-siku dapat dinyatakan dengan sederhana, yaitu :

Pada segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang hipotenusa (sisi miring) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku yang lainnya.

Perhatikan gambar berikut!

Jadi untuk setiap segitiga siku-siku yang panjang hipotenusa (sisi miringnya) $a$ dan panjang kedua sisi siku-sikunya $b$ dan $c$ berlaku:
$a^2 = b^2 + c^2$ atau $a = \sqrt{b^2+c^2}$
Rumus ini disebut rumus Pythagoras. Rumus ini dapat dikembangkan menjadi :
$b^2 = a^-c^2$ atau $b = \sqrt{a^2-c^2}$, dan
$c^2 = a^2-b^2$ atau $c = \sqrt{a^2-b^2}$

2. Menggunakan Teorema Pythagoras
Teorema Pythagoras dapat digunakan untuk menghitung panjang salah satu sisi segitiga siku-siku jika kedua sisi yang lain diketahui.
Contoh :
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, tentukan panjang sisi-sisi yang belum diketahui dari gambar berikut.

Penyelesaian :
(a)
$\begin{aligned} a^2&=13^2-12^2\\a^2&=169-144\\a^2&=25\\ a&=\sqrt{25}\\a&=5\end{aligned}$
Jadi nilai $a$ adalah 5
(b)
$\begin{aligned}b^2&=17^2-15^2\\b^2&=289-225\\b^2&=64\\b&=\sqrt{64}\\b&=8\end{aligned}$
Jadi nilai $b$ adalah 8
(c)
$\begin{aligned}c^2&=24^2+7^2\\c^2&=576+49\\c^2&=625\\c&=\sqrt{625}\\c&=25\end{aligned}$
Jadi nilai $c$ adalah 25

3. Menentukan Jenis Segitiga Jika Diketahui Panjang Sisi-sisinya.
a. Kebalikan teorema Pythagoras
Mengingat kembali teorema Pythagoras " Jika $\bigtriangleup ABC$ merupakan segitiga siku-siku di $A$ maka berlaku : $a^2=b^2+c^2$." hal ini berarti kebalikan dari teorema Pythagoras adalah : "Jika pada $\bigtriangleup ABC$ berlaku $a^2=b^2+c^2$ maka segitiga itu adalah segitiga siku-siku di $A$."
Karena sisi $a$ merupakan sisi terpanjang dari kedua sisi yang lainnya maka kebalikan teorema Pythagoras dapat dinyatakan sebagai berikut : "Jika suatu segitiga, kuadrat dari sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi yang lain maka segitiga itu merupakan segitiga siku-siku, dengan sudut siku di depan sisi terpanjang."
Perhatikan gambar berikut!
Misalkan gambar (a) suatu segitiga yang memenuhi $a^2=b^2+c^2$, sedangkan gambar (b) adalah suatu segitiga siku-siku yang panjang sisinya $m$, $b$, dan $c$, sehingga menurut teorema Pythagoras berlaku $m^2=b^2=c^2$. Jika dibandingkan kedua pernyataan tersebut, berarti $m^2=a^2$ atau $m=a$. Hal ini menunjukkan kedua segitiga tersebut kongruen, yang berarti segitiga gambar (a) adalah segitiga siku-siku. Jadi terbuktilah kebenaran kebalikan teorema Pythagoras.
Dari uraian di atas dapat ditarik kesimpulan tentang kebalikan teorema Pythagoras, yaitu :

Jika kuadrat dari sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi yang lainnya maka segitiga itu merupakan segitiga siku-siku. Dengan sudut siku di depan sisi terpanjang.

kebalikan teorema Pythagoras ini dapat digunakan untuk memeriksa apakah suatu segitiga itu merupakan segitiga siku-siku atau bukan, bila diketahui panjang sisi-sisnya.
Perhatikan contoh berikut : 
1. Sebuah segitiga sisi-sisnya berturut-turut $5$, $12$, dan $13$. Apakah segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku?
2. Sebuah segitiga dengan ukuran sisinya adalah $a=9$ cm, $b=7$ cm, dan $c$=5 cm. Apakah segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku?
Penyelesaian :
1. Akan dilihat apakah $13^2=12^2+5^2$
$\begin{aligned}5^2&=25\\12^2&=144\\13^2&=169\end{aligned}$
Ternyata, $169=144+25$ atau $13^2=12^2+5^2$
Jadi, segitiga itu merupakan segitiga siku-siku.
2. Akan dilihat apakah $9^2=7^2+5^2$
$\begin{aligned}9^2&=81\\7^2&=49\\5^2&=25\end{aligned}$
Ternyata, $81\neq 49+25$ atau $9^2\neq 7^2+5^2$, maka segitiga tersebut bukan segitiga siku-siku. Segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul, kenapa?

Kesimpulan : Jika $a, b$.dan $c$ adalah sisi-sisi sebuah segitiga, dan sisi $c$ adalah sisi terpanjang maka berlaku : 
1. Jika $c^2=a^2+b^2$ maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.
2. Jika $c^2>a^2+b^2$ maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul.
3. Jika $c^2<a^2+b^2$ maka segitiga tersebut adalah segitiga lancip. 

b. Tripel Pythagoras
Sebuah segitiga siku-siku terdiri atas satu sisi miring dan dua sisi siku-siku. Jika panjang sisi-sisinya terdiri atas tiga bilangan asli maka tiga bilangan  tersebut disebut tripel Pythagoras.

Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan asli yang menyatakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku.

Contoh :
1. Diketahui panjang sisi-sisi suatu segitiga adalah $15$ cm, $20$ cm, dan $25$ cm. Apakah ketiga bilangan tersebut merupakan tripel pythagoras?
2. Diketahui panjang sisi-sisi segitiga adalah $20$ cm, $24$ cm, dan $29$ cm. Apakah ketiga bilangan tersebut merupakan tripel pythagoras?
Penyelesaian:
1. $15^2=225$, $20^2=400$, dan $25^2=625$
Karena $15^2+20^2=25^2$ maka $15$, $20$, dan $25$ merupakan tripel pythagoras.
2.  $20^2=400$, $24^2=576$, dan $29^2=841$
Karena $20^2+24^2\neq 29^2$ maka $20$, $24$, dan $29$ bukan merupakan tripel pythagoras.

4. Menghitung perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku khusus.
a. Segitiga siku-siku sama kaki
Perhatikan gambar berikut!
Segitiga siku-siku sama kaki $ABC$ mempunyai sisi miring $AC$ dan sisi siku-siku $\overline{AB}$ dan $\overline{BC}$ yang sama panjang. Misalkan $AB$=$BC$=$a$ satuan panjang. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, $AC$ dapat ditentukan.
$\begin{aligned} AC^2&=AB^2+BC^2\\AC^2&=a^2+a^2\\AC^2&=2a^2\\ AC&=\sqrt{2a^2}\\AC&=a\sqrt{2}\end{aligned}$
Dari uraian di atas, diperoleh perbandingan panjang sisi-sisi segitiga sebagai berikut.
$\overline{AB}:\overline{BC}:\overline{AC}=a:a:a\sqrt{2}$ atau $\overline{AB}:\overline{BC}:\overline{AC}=1:1:\sqrt{2}$

$\therefore$ Pada segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya $45^0$ diperoleh panjang sisi miring sama dengan $\sqrt{2}$ kali panjang sisi sikunya. Sedangkan panjang sisi siku yang satu sama dengan panjang sisi siku yang lain.

Contoh :
Perhatikan gambar berikut.

Tentukan panjang $\overline{AB}$ dan $\overline{BC}$
Penyelesaian :
$\overline{AC}$=sisi miring
$\overline{AB}$=sisi siku
$\overline{BC}$=sisi siku yang lain
$AB:BC:AC=1:1:\sqrt{2}$
Untuk segitiga ini berlaku :
$\begin{aligned} \overline{AB}:\overline{AC}&=1:\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow AB\times\sqrt{2}&=AC\times1\\ \Leftrightarrow AB&=\frac{AC\times1}{\sqrt{2}}\\ \Leftrightarrow AB&=\frac{8\sqrt{2}\times1}{\sqrt{2}}\\ \Leftrightarrow AB&=\frac{8\sqrt2}{\sqrt{2}}\\ \Leftrightarrow AB&=8 \end{aligned}$
Selanjutnya  panjang $\overline{BC}$ adalah :
$\begin{aligned} \overline{AB}:\overline{BC}&=1:1\\ \Leftrightarrow AB\times1&=BC\times1\\ \Leftrightarrow BC&=\frac{AB\times1}{1}\\ \Leftrightarrow BC&=\frac{8\times1}{1}\\ \Leftrightarrow BC&=\frac{8}{1}\\ \Leftrightarrow BC&=8 \end{aligned}$
Jadi, panjang $\overline{AB}$ sama dengan panjang $\overline{BC}$ yaitu $8$ cm.
b. Segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya $30^2$
Perhatikan gambar berikut.
Segitiga siku-siku $ABC$ dengan $\angle A=30^0$ dan siku-siku di $B$, berarti $\angle C=60^0$. Jika segitiga tersebut dibuat garis sedemikian sehingga akan seperti gambar berikut.

dan jika $BC=a$ maka diperoleh :
$AB=DC=BC=a$ segitiga sama sisi
$AD=DB=a$ segitiga sama kaki
Berarti $AD=DC=a$
karena $AC=AD+DC=a+a=2a$
Menurut teorema Pythagoras diperoleh :
$\begin{aligned} AB&=\sqrt{AC^2-BC^2}\\ &=\sqrt{(2a)^2-a^2}\\ &=\sqrt{4a^2-a^2}\\ &=\sqrt{3a^2}\\ &=a\sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, perbandingan panjang sisi-sisinya adalah $BC:AC:AB=a:2a:a\sqrt{3}=1:2:\sqrt{3}$

$\therefore$ Pada segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya $30^0$ diperoleh panjang sisi miring sama dengan $2$ kali panjang sisi siku di depan $\angle 30^0$. Sedangkan panjang sisi siku pada $\angle 30^0$ sama dengan $\sqrt{3}$ kali panjang sisi siku di depan $\angle 30^0$

Contoh :
Perhatikan gambar berikut.


Tentukan panjang $\overline{AC}$ dan $\overline{BC}$.
Penyelesaian :
$\overline{BC}$= sisi siku di depan $\angle 30^0$
$\overline{AC}$= sisi miring
$\overline{AB}$= sisi siku pada $\angle 30^0$
Untuk segitiga ini berlaku :
$\begin{aligned} AC:AB&=2:\sqrt{3}\\ \Leftrightarrow AC\times\sqrt{3}&=2\times AB\\ \Leftrightarrow AC&=\frac{2\times AB}{\sqrt{3}}\\ \Leftrightarrow AC&=\frac{2\times 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ \Leftrightarrow AC&=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ \Leftrightarrow AC&=6 \end{aligned}$
Selanjutnya panjang $\overline {BC}$ adalah :
$\begin{aligned} BC:AC&=1:2\\ \Leftrightarrow BC\times 2&=1\times AC\\ \Leftrightarrow BC&=\frac{1\times AC}{2}\\ \Leftrightarrow BC&=\frac{1\times 6}{2}\\ \Leftrightarrow BC&=\frac{6}{2}\\ \Leftrightarrow BC&=3 \end{aligned}$
Jadi, panjang $\overline{AC}$ adalah $6$ cm dan panjang $\overline{BC}$ adalah $3$ cm.

5. Menghitung Panjang Diagonal Bidang dan Diagonal Ruang pada Kubus dan Balok
Perhatikan gambar berikut.


Kubus $ABCD.EFGH$ pada gambar di atas memiliki panjang rusuk $a$ cm. Jika diperhatikan maka bangun yang terbentuk antara diagonal bidang $BG$, diagonal ruang $AG$, dan rusuk $AB$ adalah segitiga. Dapatkah teorema Pythagoras digunakan untuk menghitung panjang diagonal ruang dan diagonal bidang tersebut.
Misalnya kita akan menghitung diagonal bidang $\overline{BG}$ dan diagonal ruang $\overline{AG}$. Karena $\triangle{BCG}$ siku-siku di $C$ dan $BC=CG=a$ cm maka $BG$ dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} BG^2&=BC^2+CG^2\\ &=a^2+a^2\\ &=2a^2\\ BG&=\sqrt{2a^2}\\ BG&=a\sqrt{2}\ cm \end{aligned}$
Perhatikan $\angle{ABG}$ siku-siku di $B$ dengan $AB=a$ cm dan $BG=a\sqrt{2}$ cm. Karena $\angle{ABG}$ siku-siku maka berlaku teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} AG^2&=AB^2+BG^2\\ &=a^2+(a^2)^2\\ &=a^2+2a^2\\ &=3a^2\\ AG&=\sqrt{3a^2}\\ AG&=a\sqrt{3}\ cm \end{aligned}$

Sebuah kubus dengan panjang sisi = $a$ cm, maka panjang diagonal bidang = $a\sqrt{2}$ cm dan panjang diagonal ruang = $a\sqrt{3}$ cm.

6. Menyelesaikan Soal cerita menggunakan Teorema Pythagoras
Langkah-langkah untuk menyelesaiakn soal cerita (soal terapan) menggunakan teorema Pythagoras adalah sebagai berikut.
  1. Bacalah soal cerita dengan seksama.
  2. Buatlah sketsa/gambar dari cerita tersebut.
  3. Rumuskan masalah, kemudian lakukan perhitungan.
  4. Periksa kembali hasil perhitungan.
Contoh :
1. Andi menyandarkan tangga yang panjangnya $5$ m pada sebatang pohon. Jarak ujung bawah tangga terhadap pangkal pohon $3$ m. Berapa meter tinggi ujung atas tangga dari tanah?
2. Sebuah kapal berlayar ke barat sejauh $6$ km, kemudian ke selatan sejauh $8$ km. Hitunglah jarak kapal sekarang dari tempat semula.
Penyelesaian :
1. Perhatikan gambar berikut.

Berdasarkan gambar, penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
$\begin{aligned} AC^2&=AB^2+BC^2\\ 5^2&=3^2+BC^2\\ BC^2&=5^2-3^2\\ BC^2&=25-9\\ BC^2&=16\\ BC&=\sqrt{16}\\ BC&=4 \end{aligned}$
$\therefore$ Tinggi ujung atas tangga dari tanah adalah $4$ m.

2.Sketsa dari soal tersebut adalah sebagai berikut.
 
Misal jarak kapal sekarang dari tempat semula adalah $x$. Menurut teorema Pythagoras :
$\begin{aligned} x^2&=6^2+8^2\\ x^2&=36+64\\ x^2&=100\\ x&=\sqrt{100}\\ x&=10 \end{aligned}$
$\therefore$ Jarak kapal sekarang dari tempat semula adalah $10$ km.

D. Evaluasi
Setelah selesai mempelajari materi Teorema Pythagoras, dan untuk mengukur pemahaman tentang materi tersebut, silakan kerjakan evaluasi berikut ini.
Cara mengerjakan evaluasi :
1. Berdo'a terlebih dulu sebelum mengerjakan soal.
2. Tulis nama, kelas, dan nomor absensi pada bagian atas soal.
3. Pilih dan klik jawaban yang benar pada opsi A, B, C, atau D.
4. Setelah selesai mengerjakan gulir ke bawah dan klik finish.
5. Klik Check my answers.
6. Bagi siswa yang nilainya belum mencapai 70 harus mengulang mengerjakan soal tersebut. 
7. Screenshot nilai yang keluar dan kirim hasil screenshot ke guru kalian.
8. Selamat mengerjakan, sukses selalu.

Mathematics Interactive Worksheet, an interactive worksheet by aantriono
liveworksheets.com
Demikian materi teorema Pythagoras, jika ada saran, kritik, ataupun kesalahan penulisan silakan tuliskan di kolom komentar. Semoga bermanfaat, terima kasih 😊🙏.

Mau donasi lewat mana?

Paypal
Bank Rakyat Indonesia - An. Aan Triono / Rek : 0357-01-132169-50-3
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi sedikit donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
https://blog.choipanwendy.com