Teorema Pythagoras
A. Kompetensi Dasar
3.6 Menjelaskan dan membuktikan teorema Pythagoras dan tripel
Pythagoras.
4.6 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema Pythagoras dan
tripel Pythagoras.
B. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi teorema Pythagoras, diharapkan dapat :
1. Memeriksa kebenaran teorema Pythagoras.
Setelah mempelajari materi teorema Pythagoras, diharapkan dapat :
1. Memeriksa kebenaran teorema Pythagoras.
2. Menentukan panjang sisi segitiga siku-siku jika panjang dua
sisi diketahui.
3. Menentukan jenis segitiga berdasarkan panjang sisi-sisi yang
diketahui.
4. Menemukan dan menguji tiga bilangan apakah termasuk tripel Pythagoras atau bukan tripel Pythagoras.
5. Menerapkan teorema Pythagoras untuk menyelesaikan
permasalahan nyata.
C. Materi
1. Menemukan Teorema Pythagoras
Perhatikan gambar berikut!
Segitiga $ABC$ siku-siku di $B$. Sisi dihadapan sudut siku-siku disebut
sisi miring (hipotenusa),
sedangkan sisi yang lain disebut sisi siku-siku. Panjang sisi-sisi pada
segitiga siku-siku mempunyai hubungan spesial tertentu. Bagaimana hubungannya?
Perhatikan gambar berikut!
Gambar pada (a) dan (b)
dibuat dari pasangan persegi besar yang kongruen. Dari gambar tersebut
diperoleh :
a. Luas persegi besar = luas persegi dalam + luas empat segitiga
siku-siku
= $a^2+4\times \frac{1}{2}bc$
= $a^2+2bc$
b. Luas persegi besar = luas dua persegi dalam + luas dua persegi
panjang
= $b^2+c^2+bc+bc$
= $b^2+c^2+2bc$
Karena kedua persegi besar mempunyai luas yang sama, maka berlaku
:
$\Leftrightarrow a^2+2bc=b^2+c^2+2bc$
$\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2$
Selanjutnya, jika persegi-persegi tersebut yang luasnya $a^2$, $b^2$,
dan $c^2$ disusun sedemikian rupa maka akan tampak seperti gambar (c)
di atas. Persegi yang luasnya $a^2$ terletak pada
hipotenusa (sisi miring), sedangkan persegi-persegi yang luasnya $b^2$ dan $c^2$ terletak
pada kedua sisi sikunya. Karena $a^2 = b^2+c^2$ berarti luas persegi
yang terletak pada hipotenusa sama dengan jumlah luas persegi yang
terletak pada kedua sisi siku-sikunya.
Teorema Pythagoras : pada segitiga siku-siku berlaku, luas
persegi pada hipotenusa sama dengan jumlah luas persegi pada kedua sisi
siku-sikunya.
|
|
Dengan memperhatikan gambar (a)
di atas tampak bila persegi-persegi dibuang sedemikian rupa sehingga tampak
seperti gambar (b), yaitu
segitiga siku-siku yang panjang hipotenusanya (sisi miring)
adalah $a$, dan panjang kedua sisi sikunya adalah $b$ dan $c$. Menurut
teorema Pythagoras pada gambar (a) berlaku $a^2 = b^2 + c^2$. dengan
demikian, teorema Pythagoras untuk segitiga siku-siku dapat dinyatakan
dengan sederhana, yaitu :
Pada segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang hipotenusa (sisi miring)
sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku yang lainnya.
Jadi untuk setiap segitiga siku-siku yang panjang hipotenusa (sisi miringnya)
$a$ dan panjang kedua sisi siku-sikunya $b$ dan $c$ berlaku:
$a^2 = b^2 + c^2$ atau $a = \sqrt{b^2+c^2}$
Rumus ini disebut rumus Pythagoras. Rumus ini dapat dikembangkan menjadi :
$b^2 = a^-c^2$ atau $b = \sqrt{a^2-c^2}$, dan
$c^2 = a^2-b^2$ atau $c = \sqrt{a^2-b^2}$
2. Menggunakan Teorema Pythagoras
Teorema Pythagoras dapat digunakan untuk menghitung panjang salah satu
sisi segitiga siku-siku jika kedua sisi yang lain diketahui.
Contoh :
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, tentukan panjang sisi-sisi yang
belum diketahui dari gambar berikut.
Penyelesaian :
(a)
$\begin{aligned} a^2&=13^2-12^2\\a^2&=169-144\\a^2&=25\\
a&=\sqrt{25}\\a&=5\end{aligned}$
Jadi nilai $a$ adalah 5
(b)
$\begin{aligned}b^2&=17^2-15^2\\b^2&=289-225\\b^2&=64\\b&=\sqrt{64}\\b&=8\end{aligned}$
Jadi nilai $b$ adalah 8
(c)
$\begin{aligned}c^2&=24^2+7^2\\c^2&=576+49\\c^2&=625\\c&=\sqrt{625}\\c&=25\end{aligned}$
Jadi nilai $c$ adalah 25
3. Menentukan Jenis Segitiga Jika Diketahui Panjang Sisi-sisinya.
a. Kebalikan teorema Pythagoras
Mengingat kembali teorema Pythagoras " Jika $\bigtriangleup ABC$
merupakan segitiga siku-siku di $A$ maka berlaku : $a^2=b^2+c^2$." hal ini
berarti kebalikan dari teorema Pythagoras adalah : "Jika pada
$\bigtriangleup ABC$ berlaku $a^2=b^2+c^2$ maka segitiga itu adalah
segitiga siku-siku di $A$."
Karena sisi $a$ merupakan sisi terpanjang dari kedua sisi yang lainnya
maka kebalikan teorema Pythagoras dapat dinyatakan sebagai berikut : "Jika
suatu segitiga, kuadrat dari sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat
kedua sisi yang lain maka segitiga itu merupakan segitiga siku-siku,
dengan sudut siku di depan sisi terpanjang."
Perhatikan gambar berikut!
Misalkan gambar (a) suatu
segitiga yang memenuhi $a^2=b^2+c^2$, sedangkan gambar (b)
adalah suatu segitiga siku-siku yang panjang sisinya $m$, $b$, dan $c$,
sehingga menurut teorema Pythagoras berlaku $m^2=b^2=c^2$. Jika
dibandingkan kedua pernyataan tersebut, berarti $m^2=a^2$ atau $m=a$.
Hal ini menunjukkan kedua segitiga tersebut kongruen, yang berarti
segitiga gambar (a) adalah
segitiga siku-siku. Jadi terbuktilah kebenaran kebalikan teorema
Pythagoras.
Dari uraian di atas dapat ditarik kesimpulan tentang kebalikan teorema
Pythagoras, yaitu :
Jika kuadrat dari sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi
yang lainnya maka segitiga itu merupakan segitiga siku-siku. Dengan
sudut siku di depan sisi terpanjang.
Perhatikan contoh berikut :
1. Sebuah segitiga sisi-sisnya berturut-turut $5$, $12$, dan $13$. Apakah
segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku?
2. Sebuah segitiga dengan ukuran sisinya adalah $a=9$ cm, $b=7$ cm, dan
$c$=5 cm. Apakah segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku?
Penyelesaian :
Penyelesaian :
1. Akan dilihat apakah $13^2=12^2+5^2$
$\begin{aligned}5^2&=25\\12^2&=144\\13^2&=169\end{aligned}$
Ternyata, $169=144+25$ atau $13^2=12^2+5^2$
Jadi, segitiga itu merupakan segitiga siku-siku.
2. Akan dilihat apakah $9^2=7^2+5^2$
$\begin{aligned}9^2&=81\\7^2&=49\\5^2&=25\end{aligned}$
Ternyata, $81\neq 49+25$ atau $9^2\neq 7^2+5^2$, maka segitiga tersebut
bukan segitiga siku-siku. Segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul, kenapa?
Kesimpulan : Jika $a, b$.dan $c$ adalah sisi-sisi sebuah segitiga,
dan sisi $c$ adalah sisi terpanjang maka berlaku :
1. Jika $c^2=a^2+b^2$ maka segitiga tersebut adalah segitiga
siku-siku.
2. Jika $c^2>a^2+b^2$ maka segitiga tersebut adalah segitiga
tumpul.
3. Jika $c^2<a^2+b^2$ maka segitiga tersebut adalah segitiga
lancip.
b. Tripel Pythagoras
Sebuah segitiga siku-siku terdiri atas satu sisi miring dan dua sisi
siku-siku. Jika panjang sisi-sisinya terdiri atas tiga bilangan asli
maka tiga bilangan tersebut disebut
tripel Pythagoras.
Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan asli yang menyatakan panjang
sisi-sisi suatu segitiga siku-siku.
Contoh :
1. Diketahui panjang sisi-sisi suatu segitiga adalah $15$ cm, $20$ cm,
dan $25$ cm. Apakah ketiga bilangan tersebut merupakan tripel
pythagoras?
2. Diketahui panjang sisi-sisi segitiga adalah $20$ cm, $24$ cm, dan $29$ cm. Apakah ketiga bilangan
tersebut merupakan tripel pythagoras?
Penyelesaian:
1. $15^2=225$, $20^2=400$, dan $25^2=625$
Karena $15^2+20^2=25^2$ maka $15$, $20$, dan $25$ merupakan tripel
pythagoras.
2. $20^2=400$, $24^2=576$, dan $29^2=841$
Karena $20^2+24^2\neq 29^2$ maka $20$, $24$, dan $29$
bukan merupakan tripel pythagoras.
4. Menghitung perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku khusus.
a. Segitiga siku-siku sama kaki
Perhatikan gambar berikut!
Segitiga siku-siku sama kaki $ABC$ mempunyai sisi miring $AC$ dan sisi
siku-siku $\overline{AB}$ dan $\overline{BC}$ yang sama panjang. Misalkan $AB$=$BC$=$a$ satuan
panjang. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, $AC$ dapat
ditentukan.
$\begin{aligned} AC^2&=AB^2+BC^2\\AC^2&=a^2+a^2\\AC^2&=2a^2\\ AC&=\sqrt{2a^2}\\AC&=a\sqrt{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned} AC^2&=AB^2+BC^2\\AC^2&=a^2+a^2\\AC^2&=2a^2\\ AC&=\sqrt{2a^2}\\AC&=a\sqrt{2}\end{aligned}$
Dari uraian di atas, diperoleh perbandingan panjang sisi-sisi segitiga
sebagai berikut.
$\overline{AB}:\overline{BC}:\overline{AC}=a:a:a\sqrt{2}$ atau
$\overline{AB}:\overline{BC}:\overline{AC}=1:1:\sqrt{2}$
$\therefore$ Pada segitiga siku-siku yang salah satu
sudutnya $45^0$ diperoleh panjang sisi miring sama dengan $\sqrt{2}$
kali panjang sisi sikunya. Sedangkan panjang sisi siku yang satu
sama dengan panjang sisi siku yang lain.
Contoh :
Perhatikan gambar berikut.
Tentukan panjang $\overline{AB}$ dan $\overline{BC}$
Penyelesaian :
$\overline{AC}$=sisi miring
$\overline{AB}$=sisi siku
$\overline{BC}$=sisi siku yang lain
$AB:BC:AC=1:1:\sqrt{2}$
Untuk segitiga ini berlaku :
$\begin{aligned}
\overline{AB}:\overline{AC}&=1:\sqrt{2}\\
\Leftrightarrow AB\times\sqrt{2}&=AC\times1\\
\Leftrightarrow AB&=\frac{AC\times1}{\sqrt{2}}\\
\Leftrightarrow AB&=\frac{8\sqrt{2}\times1}{\sqrt{2}}\\
\Leftrightarrow AB&=\frac{8\sqrt2}{\sqrt{2}}\\
\Leftrightarrow AB&=8
\end{aligned}$
Selanjutnya panjang $\overline{BC}$ adalah :
$\begin{aligned}
\overline{AB}:\overline{BC}&=1:1\\
\Leftrightarrow AB\times1&=BC\times1\\
\Leftrightarrow BC&=\frac{AB\times1}{1}\\
\Leftrightarrow BC&=\frac{8\times1}{1}\\
\Leftrightarrow BC&=\frac{8}{1}\\
\Leftrightarrow BC&=8
\end{aligned}$
Jadi, panjang $\overline{AB}$ sama dengan panjang $\overline{BC}$ yaitu
$8$ cm.
b. Segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya $30^2$
Perhatikan gambar berikut.
Segitiga siku-siku $ABC$ dengan $\angle A=30^0$ dan siku-siku di $B$,
berarti $\angle C=60^0$. Jika segitiga tersebut dibuat garis
sedemikian sehingga akan seperti gambar berikut.
dan jika $BC=a$ maka diperoleh :
$AB=DC=BC=a$ segitiga sama sisi
$AD=DB=a$ segitiga sama kaki
Berarti $AD=DC=a$
karena $AC=AD+DC=a+a=2a$
Menurut teorema Pythagoras diperoleh :
$\begin{aligned}
AB&=\sqrt{AC^2-BC^2}\\
&=\sqrt{(2a)^2-a^2}\\
&=\sqrt{4a^2-a^2}\\
&=\sqrt{3a^2}\\
&=a\sqrt{3}
\end{aligned}$
Jadi, perbandingan panjang sisi-sisinya adalah
$BC:AC:AB=a:2a:a\sqrt{3}=1:2:\sqrt{3}$
$\therefore$ Pada segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya
$30^0$ diperoleh panjang sisi miring sama dengan $2$ kali panjang sisi
siku di depan $\angle 30^0$. Sedangkan panjang sisi siku pada $\angle
30^0$ sama dengan $\sqrt{3}$ kali panjang sisi siku di depan $\angle
30^0$
Contoh :
Perhatikan gambar berikut.
Tentukan panjang $\overline{AC}$ dan $\overline{BC}$.
Penyelesaian :
$\overline{BC}$= sisi siku di depan $\angle 30^0$
$\overline{AC}$= sisi miring
$\overline{AB}$= sisi siku pada $\angle 30^0$
Untuk segitiga ini berlaku :
$\begin{aligned}
AC:AB&=2:\sqrt{3}\\
\Leftrightarrow AC\times\sqrt{3}&=2\times AB\\
\Leftrightarrow AC&=\frac{2\times AB}{\sqrt{3}}\\
\Leftrightarrow AC&=\frac{2\times 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\
\Leftrightarrow AC&=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\
\Leftrightarrow AC&=6
\end{aligned}$
Selanjutnya panjang $\overline {BC}$ adalah :
$\begin{aligned}
BC:AC&=1:2\\
\Leftrightarrow BC\times 2&=1\times AC\\
\Leftrightarrow BC&=\frac{1\times AC}{2}\\
\Leftrightarrow BC&=\frac{1\times 6}{2}\\
\Leftrightarrow BC&=\frac{6}{2}\\
\Leftrightarrow BC&=3
\end{aligned}$
Jadi, panjang $\overline{AC}$ adalah $6$ cm dan panjang $\overline{BC}$
adalah $3$ cm.
5. Menghitung Panjang Diagonal Bidang dan Diagonal Ruang pada Kubus
dan Balok
Perhatikan gambar berikut.
Perhatikan gambar berikut.
Kubus $ABCD.EFGH$ pada gambar di atas memiliki panjang rusuk $a$ cm.
Jika diperhatikan maka bangun yang terbentuk antara diagonal bidang
$BG$, diagonal ruang $AG$, dan rusuk $AB$ adalah segitiga. Dapatkah
teorema Pythagoras digunakan untuk menghitung panjang diagonal ruang dan
diagonal bidang tersebut.
Misalnya kita akan menghitung diagonal bidang $\overline{BG}$ dan
diagonal ruang $\overline{AG}$. Karena $\triangle{BCG}$ siku-siku di $C$
dan $BC=CG=a$ cm maka $BG$ dapat dicari dengan menggunakan teorema
Pythagoras.
$\begin{aligned}
BG^2&=BC^2+CG^2\\
&=a^2+a^2\\
&=2a^2\\
BG&=\sqrt{2a^2}\\
BG&=a\sqrt{2}\ cm
\end{aligned}$
Perhatikan $\angle{ABG}$ siku-siku di $B$ dengan $AB=a$ cm dan
$BG=a\sqrt{2}$ cm. Karena $\angle{ABG}$ siku-siku maka berlaku teorema
Pythagoras.
$\begin{aligned}
AG^2&=AB^2+BG^2\\
&=a^2+(a^2)^2\\
&=a^2+2a^2\\
&=3a^2\\
AG&=\sqrt{3a^2}\\
AG&=a\sqrt{3}\ cm
\end{aligned}$
Sebuah kubus dengan panjang sisi = $a$ cm, maka panjang diagonal
bidang = $a\sqrt{2}$ cm dan panjang diagonal ruang = $a\sqrt{3}$ cm.
6. Menyelesaikan Soal cerita menggunakan Teorema Pythagoras
Langkah-langkah untuk menyelesaiakn soal cerita (soal terapan)
menggunakan teorema Pythagoras adalah sebagai berikut.
- Bacalah soal cerita dengan seksama.
- Buatlah sketsa/gambar dari cerita tersebut.
- Rumuskan masalah, kemudian lakukan perhitungan.
- Periksa kembali hasil perhitungan.
Contoh :
1. Andi menyandarkan tangga yang panjangnya $5$ m pada sebatang
pohon. Jarak ujung bawah tangga terhadap pangkal pohon $3$ m. Berapa
meter tinggi ujung atas tangga dari tanah?
2. Sebuah kapal berlayar ke barat sejauh $6$ km, kemudian ke selatan
sejauh $8$ km. Hitunglah jarak kapal sekarang dari tempat
semula.
Penyelesaian :
1. Perhatikan gambar berikut.
Berdasarkan gambar, penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
$\therefore$ Tinggi ujung atas tangga dari tanah adalah $4$
m.
2.Sketsa dari soal tersebut adalah sebagai berikut.
$\therefore$ Jarak kapal sekarang dari tempat semula adalah $10$
km.
D. Evaluasi
Setelah selesai mempelajari materi Teorema Pythagoras, dan untuk
mengukur pemahaman tentang materi tersebut, silakan kerjakan evaluasi
berikut ini.
Cara mengerjakan evaluasi :
1. Berdo'a terlebih dulu sebelum mengerjakan soal.
2. Tulis nama, kelas, dan nomor absensi pada bagian atas soal.
3. Pilih dan klik jawaban yang benar pada opsi A, B, C, atau D.
4. Setelah selesai mengerjakan gulir ke bawah dan klik finish.
5. Klik Check my answers.
6. Bagi siswa yang nilainya belum mencapai 70 harus mengulang
mengerjakan soal tersebut.
7. Screenshot nilai yang keluar dan kirim hasil screenshot ke guru
kalian.
8. Selamat mengerjakan, sukses selalu.
Mathematics Interactive Worksheet, an interactive worksheet by
aantriono
liveworksheets.com
liveworksheets.com
Demikian materi teorema Pythagoras, jika ada saran, kritik, ataupun
kesalahan penulisan silakan tuliskan di kolom komentar. Semoga
bermanfaat, terima kasih 😊🙏.
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
7 komentar
Kelas: Vlllc
Kelas:Vlll b
Kelas:VIIIB
Kelas:VIII C
Kelas:Vlll C
image quote pre code