Garis dan Sudut
Pengertian Sudut
Sudut dibentuk oleh pertemuan dua buah garis/sinar yang bertemu pada pangkalnya. Sudut dinotasikan dengan $\angle$. Pada sebuah sudut terdapat unsur-unsur, seperti kaki sudut, titik sudut, dan daerah sudut. Perhatikan gambar berikut.
.png "Materi garis dan sudut kelas 7 SMP")
Kaki sudut berupa sinar garis, yaitu sinar garis OA dan OB. Titik O dinamakan titik sudut, sedangkan daerah yang diarsir dinamakan daerah sudut. Daerah sudut lebih dikenal dengan nama besar sudut. Besar sudut tidak bergantung pada panjang kaki-kaki sudut yang membentuknya.
Titik sudut adalah titik perpotongan kedua kaki sudut.
Daerah sudut adalah daerah yang dibatasi oleh kedua kaki sudut.
Ukuran Sudut
Derajat merupakan satuan yang paling sering dipakai untuk menyatakan ukuran sudut. Satu putaran besarnya $360^\circ$. Jika satu putaran penuh dibagi menjadi $360$ bagian yang sama, setiap bagiannya disebut satu derajat ditulis $1^\circ$. Satuan ukuran yang lebih kecil daripada derajat adalah menit dan detik, dengan $1$ derajat = $60$ menit ($1^\circ=60'$) dan $1$ menit = $60$ detik ($1'=60''$).
$1^\circ=60'$
$1'=60''$
$1^\circ =3.600''$
Tentukan kesamaan besar sudut berikut.
a. $3^\circ=...'=...''$
b. $7.200''=...'=...^\circ$
Jawab.
a. $3^\circ=(3\times 60)'=(3\times 3.600)''$
$3^\circ=180'=10.800''$.
b. $7.200''=\left(\dfrac{7.200}{60}\right)'=\left(\dfrac{7.200}{3.600}\right)^\circ$
$7.200''=120'=2^\circ$
Penjumlahan dan Pengurangan Sudut
Tentukan hasil operasi berikut.
a. $12^\circ 25'+13^\circ 11'$
b. $35^\circ 11'-21^\circ 10'$
Jawab.
a. $12^\circ 25'+13^\circ 11'=25^\circ 36'$
b. $35^\circ 11'-21^\circ 10'=14^\circ 01'$
Menggambar dan Memberi Nama Sudut
Untuk menggambar sudut yang besarnya diketahui, kita dapat menggunakan penggaris dan busur derajat.
a. Menggambar Sudut
Pada busur derajat terdapat dua skala, yaitu skala dalam dan skala luar.
* Jika sudut diukur searah jarum jam, gunakan skala luar.
* Jika sudut diukur berlawanan arah jarum jam, gunakan skala dalam.
Gambarlah sudut $70^\circ$ dengan penggaris dan busur derajat.
Jawab.
Untuk menggambar sudut $70^\circ$, ikutilah langkah-langkah berikut.
1. Gambarlah garis lurus $AB$.
2. Letakkan busur derajat pada garis $AB$ dengan pusat busur berimpit dengan titik $A$.
3. Berilah tanda titik $C$ pada angka $70^\circ$.
4. Hubungkan titik $A$ dan $C$ untuk mendapatkan sudut $70^\circ$.
b. Notasi dan Nama Sudut
Sudut biasanya diberi nama dengan tiga cara:
1. Memberi nama sudut dengan simbol.
Huruf Yunani seperti $\alpha$ (alfa), $\beta$ (beta), dan $\theta$ (theta) sering digunakan dalam pemberian nama sudut.
2. Menggunakan nama titik sudut.
Pemberian nama sudut juga dapat dilakukan dengan menyebutkan nama titik sudut tersebut.
3. Menggunakan nama ujung kaki sudut.
Pemberian nama sudut dengan menggunakan titik ujung kaki sudut biasanya menggunakan tiga huruf kapital. Titik sudut diletakkan di tengah.
Sudut pada gambar tersebut diberi nama sebagai $\angle \alpha$ , $\angle A$, $\angle BAC$, atau $\angle CAB$.
Jenis-jenis Sudut
Berdasarkan ukurannya, sudut dibagi menjadi lima jenis sebagai berikut:
1. Sudut lancip, yaitu sudut yang besarnya kurang dari $90^\circ$.
2. Sudut siku-siku, yaitu sudut yang besarnya $90^\circ$.
3. Sudut tumpul, yaitu sudut yang besarnya lebih dari $90^\circ$ dan kurang dari $180^\circ$.
4. Sudut lurus, yaitu sudut yang besarnya $180^\circ$
5. Sudut refleks, yaitu sudut yang besarnya lebih dari $180^\circ$ dan kurang dari $360^\circ$.
Agar lebih jelas, perhatikan gambar berikut.
Hubungan antarsudut
Pasangan sudut saling berpenyiku (berkomplemen)
Jumlah dua sudut yang saling berpenyiku (berkomplemen) adalah $90^\circ$. Sudut yang satu merupakan penyiku sudut yang lain.
$\angle AOC+\angle BOC=\angle AOB$
$x^\circ+y^\circ=90^\circ$
Pasangan sudut saling berpelurus (bersuplemen)
Jumlah dua sudut yang saling berpelurus (bersuplemen) adalah $180^\circ$. Sudut yang satu merupakan pelurus sudut yang lain.
$\angle AOC+\angle BOC=\angle AOB$
$x^\circ+y^\circ=180^\circ$
Pasangan sudut saling bertolak belakang
Jika dua garis berpotongan maka dua sudut yang letaknya saling membelakangi titik potongnya disebut dua sudut yang bertolak belakang. Dua sudut yang bertolak belakang adalah sama besar.
$\angle AOB=\angle COD=y^\circ$
$\angle AOD=\angle BOC=x^\circ$
Contoh soal dan pembahasan
1. Perhatikan gambar berikut.
a. Berapakah nilai $x$
b. Berapakah besar sudut $\angle POR$
2. Perhatikan gambar berikut.
Besar pelurus sudut $\angle KLN$ adalah ...
Jawab.
\(\begin{array}{rcl}1.a.\ 2x+3x&=&90^\circ\\5x&=&90^\circ\\x&=&18^\circ\end{array}\)
Jadi, nilai $x=18^\circ$
\(\begin{array}{rcl}b.\ \angle POR&=&2x^\circ\\&=&2\times 18^\circ\\&=&36^\circ\end{array}\)
Jadi, besar $\angle POR=36^\circ$
2. Besar sudut lurus = $180^\circ$
\(\begin{array}{rcl} 3x+15+2x+10&=&180\\5x+25&=&180\\5x&=&180-25\\5x&=&155\\x&=&\dfrac{155}{5}\\x&=&31\end{array}\)
Pelurus $\angle KLN=\angle MLN=(2x+10)^\circ=(2\times 31 + 10)^\circ=72^\circ$
Pada gambar tersebut $\angle LOM=100^\circ$. Tentukan besar $\angle KOL$ dan $\angle KON$.
$\angle KOL$ dan $\angle LOM$ saling berpelurus, berarti jumlahnya $180^\circ$.
\(\begin{array}{rcl} a.\ \angle KOL+\angle LOM&=&180^\circ\\ \angle KOL+100^\circ&=&180^\circ\\ \angle KOL&=&180^\circ-100^\circ\\ \angle KOL&=&80^\circ\end{array}\)
$\angle KON$ dan $\angle LOM$ saling bertolak belakang, berarti:
\(\begin{array}{rcl} b.\ \angle KON&=&\angle LOM\\ \angle KON&=&100^\circ\end{array}\)
Garis
Perhatikan gambar berikut.
Gambar (a) disebut ruas garis $AB$, ditulis $\overline{AB}$. Jika ujung $B$ diperpanjang diperoleh sinar garis $AB$, ditulis $\overrightarrow {AB}$ (gambar (b)). Jika kedua ujung diperpanjang tanpa batas, diperoleh garis lurus $AB$, ditulis $\overleftrightarrow{AB}$ seperti gambar (c). Garis lurus cukup disebut garis.
Kedudukan Dua Garis
Ada empat kemungkinan kedudukan dua garis, yaitu: sejajar, berpotongan, bersilangan, dan berimpit.
Dua garis sejajar
Perhatikan gambar berikut.
Garis $a$ sejajar dengan garis $b$, ditulis dengan $a\parallel b$. Sebagai contoh dua rel kereta api dapat dianggap sebagai dua garis yang saling sejajar.
Dua garis atau lebih dikatakan sejajar apabila garis-garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan tidak akan pernah bertemu atau berpotongan jika garis-garis tersebut diperpanjang sampai tak terhingga
Dua garis berpotongan
Perhatikan gambar berikut.
Dua garis $k$ dan $l$ dikatakan berpotogan jika kedua garis itu memiliki titik persekutuan. Titik persekutuan itu disebut titik potong. Dua garis yang berpotonga memiliki titik potong tepat satu buah.
Dua garis dikatakan saling berpotongan apabila garis-garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan mempunyai satu titik potong
Dua garis berimpit
Perhatikan gambar berikut.
Dua garis dikatakan berimpit berimpit jika kedua garis itu memiliki lebih dari satu titik persekutuan. Pada gambar di atas, garis $p$ berimpit dengan garis $q$.
Dua garis dikatakan saing berimpit apabila garis-garis tersebut terletak pada satu garis lurus sehingga hanya terlihat sebagai satu garis lurus saja.
Dua garis bersilangan
Perhatikan gambar berikut.
Garis bersilangan hanya terdapat pada bangun ruang atau tiga dimensi. Dua garis dikatakan bersilangan apabila garis-garis tersebut tidak terletak pada satu bidang datar dan tidak akan berpotongan apabila diperpanjang. Pada gambar di atas, dua garis yang bersilangan misalnya $\overline {AB}$ dan $\overline {FG}$.
Sifat-sifat garis sejajar
Aksioma adalah suatu pernytaan yang kebenarannya diterima tanpa perlu dibuktikan. Contoh aksioma adalah sebagai berikut.
Melalui sebuah titik di luar garis dapat dibuat tepat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu.
Beberapa sifat garis sejajar adalah sebagai berikut.
Sifat 1
Jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis sejajar maka garis tersebut juga memotong garis yang kedua.
Sifat 2
Jika sebuah garis garis sejajar dengan dua buah garis maka kedua garis itu sejajar satu sama lain.
Hubungan antara garis dan sudut
Pada gambar berikut, garis $m$ memotong dua garis yang saling sejajar yaitu garis $k$ dan garis $l$. Garis $m$ disebut garis transveral.
Garis $k$ dan garis $m$ berpotongan di titik $P$. Garis $l$ dan garis $m$ berpotongan di titik $Q$. Ada 4 sudut di titik $P$, yaitu $\angle P_1$, $\angle P_2$, $\angle P_3$, dan $\angle P_4$. Begitu juga ada 4 sudut di titik $Q$, yaitu $\angle Q_1$, $\angle Q_2$, $\angle Q_3$, dan $\angle Q_4$.
Berikut ini adalah hubungan antarsudut-sudut tersebut.
Sudut-sudut sehadap
Setiap pasang sudut sehadap besarnya sama.
$\angle P_1$ sehadap dengan $\angle Q_1$, maka $\angle P_1= \angle Q_1$
$\angle P_2$ sehadap dengan $\angle Q_2$, maka $\angle P_2= \angle Q_2$
$\angle P_3$ sehadap dengan $\angle Q_3$, maka $\angle P_3= \angle Q_3$
$\angle P_4$ sehadap dengan $\angle Q_4$, maka $\angle P_4= \angle Q_4$
Simulasi dengan GeoGebra
Sudut-sudut dalam berseberangan dan Sudut-sudut luar berseberangan
Setiap pasangan sudut dalam berseberangan besarnya sama.
$\angle P_3$ dan $\angle Q_1$ merupakan pasangan sudut dalam berseberangan, maka $\angle P_3=\angle Q_1$
$\angle P_4$ dan $\angle Q_2$ merupakan pasangan sudut dalam berseberangan, maka $\angle P_4=\angle Q_2$
Setiap pasangan sudut luar berseberangan besarnya sama.
$\angle P_1$ dan $\angle Q_3$ merupakan pasangan sudut dalam berseberangan, maka $\angle P_1=\angle Q_3$
$\angle P_2$ dan $\angle Q_4$ merupakan pasangan sudut dalam berseberangan, maka $\angle P_2=\angle Q_4$
Simulasi dengan GeoGebra
Sudut-sudut dalam sepihak dan sudut-sudut luar sepihak
Setiap pasangan sudut dalam sepihak jumlah besarnya $180^\circ$
$\angle P_3$ dan $\angle Q_2$ merupakan pasangan sudut dalam sepihak, maka $\angle P_3+\angle Q_2=180^\circ$
$\angle P_4$ dan $\angle Q_1$ merupakan pasangan sudut dalam sepihak, maka $\angle P_4+\angle Q_2=180^\circ$
Setiap pasangan sudut luar sepihak jumlah besarnya $180^\circ$
$\angle P_1$ dan $\angle Q_4$ merupakan pasangan sudut dalam sepihak, maka $\angle P_1+\angle Q_4=180^\circ$
$\angle P_2$ dan $\angle Q_3$ merupakan pasangan sudut dalam sepihak, maka $\angle P_2+\angle Q_3=180^\circ$
Simulasi dengan GeoGebra
Penutup
Demikian materi tentang garis dan sudut. Jika ada kekeliruan, tambahan ataupun saran silakan sampaikan di kolom komentar. Semoga bermanfaat. Terima kasih.
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
Posting Komentar
image quote pre code