Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan

Bilangan irasional sangat erat hubungannya dengan bentuk akar. Bilangan $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ adalah contoh-contoh bilangan irasional dalam bentuk akar. 

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$ dengan $a, b$ bilangan bulat dan $b\ne 0$.
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}{b}$ dengan $a, b$ bilangan bulat dan $b\ne 0$.

Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah $-5, -\dfrac{2}{5},\ 0,\ 3,\ \dfrac{3}{4}$. Contoh bilangan irasional adalah $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$. Bilangan-bilangan tersebut apabila dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal berulang. Misalnya $\sqrt{2} = 1,414213562....$. Gabungan antara bilangan rasional dan bilangan irasional disebut bilangan real $(R)$.

Pengertian Bentuk Akar

Bentuk akar dan pangkat pecahan kelas IX

Perhatikan contoh berikut.
1. $\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2$
2. $\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3$
3. $\sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4$
Perhitungan akar kuadrat bilangan-bilangan tersebut memenuhi definisi berikut.

Definisi : $\sqrt{a^2}=a$, dengan a bilangan real positif.

Sekarang, misalkan ambil contoh $\sqrt{2}$, berdasarkan definisi tersebut maka kita tidak dapat mencari suatu bilangan rasional yang apabila dipangkatkan dua, hasilnya 2. Bilangan seperti ini dinamakan bentuk akar. Contoh bentuk akar adalah $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$.

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

1. Penjumlahan dan Pengurangan

$a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}$
$a\sqrt{c}-b\sqrt{c}=(a-b)\sqrt{c}$
dengan $a, b, c\in R$ dan $c\ge 0$

Contoh :
Sederhanakan bentuk berikut.
a. $4\sqrt{3}-2\sqrt{3}$
b. $2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-4\sqrt{5}$
c. $15\sqrt{7}-25\sqrt{7}$

Jawab.

a. $4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=(4-2)\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
b. $2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-4\sqrt{5}=(2+3-4)\sqrt{5}=(5-4)\sqrt{5}=\sqrt{5}$
c. $15\sqrt{7}-25\sqrt{7}=(15-25)\sqrt{7}= -10\sqrt{7}$

2. Perkalian

$a\sqrt{b}\times c\sqrt{d}=ac\sqrt{bd}$ dengan $a, b, c, d \in R$ dan $b\ge 0, d\ge 0$

Contoh.
Tentukan hasil operasi berikut.
a. $2\sqrt{3}\times 5\sqrt{2}$
b. $\sqrt{8}\times \sqrt{12}$
c. $(2\sqrt{5})(2\sqrt{2})-3\sqrt{2}(3\sqrt{5}-2\sqrt{3})$

Jawab. 

\( \begin{array}{rcl}a. 2\sqrt{3}\times 5\sqrt{2} & = & (2\times 5)\times \sqrt{3}\times \sqrt{2} \\[10pt] & = & (2\times 5)\times \sqrt{3\times 2} \\[10pt] & = & 10\times \sqrt{6}\\[10pt]&=&10\sqrt{6}\end{array}\)

\(\begin{array}{rcl}b. \sqrt{8}\times \sqrt{12} & = & \sqrt{8\times 12} \\[10pt] & = & \sqrt{96} \\[10pt] & = & \sqrt{16\times 6}\\[10pt]&=&4\sqrt{6}\end{array}\)

\(\begin{array}{rcl}c.  (2\sqrt{5})(2\sqrt{2})-3\sqrt{2}(3\sqrt{5}-2\sqrt{3}) & = & 2\times 2\times \sqrt{5\times 2}-3\times 3\times \sqrt{2\times 5}+3\times 2\times \sqrt{2\times 3}\\[10pt] & = & 4\sqrt{10}-9\sqrt{10}+6\sqrt{6}\\[10pt] & = & -5\sqrt{10}+6\sqrt{6}\end{array}\) 

3. Pembagian

$\dfrac{p\sqrt{a}}{q\sqrt{b}}=\dfrac{p}{q} \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ , dengan $a, b, p, q$ bilangan real dengan $a\ge 0$ dan $b\ge 0$

Contoh.
Tentukan hasil pembagian bentuk akar berikut.
a. $\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{28}}$

b. $\dfrac{10\sqrt{8}}{5\sqrt{2}}$

Jawab.

a. \(\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{28}}=\sqrt{\dfrac{7}{28}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}\)

b. $\dfrac{10\sqrt{8}}{5\sqrt{2}}=\dfrac{10\sqrt{4\times 2}}{5\sqrt{2}}=\dfrac{20\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}=4$

Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan

Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut pecahan bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.
1. Merasionalkan bentuk $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$
Cara merasionalkan bentuk $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$ adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan bentuk sekawan dari penyebutnya, yaitu :

$\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a}{\sqrt{b}}\times \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{b}=\dfrac{a}{b}\sqrt{b}$

Contoh.
Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut, kemudian sederhanakan.
a. $\dfrac{4}{\sqrt{5}}$

b. $\dfrac{-6}{\sqrt{7}}$

c. $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$

Jawab.

a. $\dfrac{4}{\sqrt{5}}=\dfrac{4}{\sqrt{5}}\times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{4}{5}\sqrt{5}$

b. $\dfrac{-6}{\sqrt{7}}=\dfrac{-6}{\sqrt{7}}\times \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{-6\sqrt{7}}{7}=-\dfrac{6}{7}\sqrt{7}$

c. $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{18}}{6}=\dfrac{\sqrt{9\times 2}}{6}=\dfrac{3\sqrt{2}}{6}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$

2. Merasionalkan bentuk $(a + \sqrt{b})$ atau $(a - \sqrt{b})$
Pecahan dengan penyebut berbentuk $(a+\sqrt{b})$ atau $(a-\sqrt{b})$ dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya. Sekawan dari $(a+\sqrt{b}$ adalah $(a-\sqrt{b}$, dan sebaliknya. Perhatikan contoh berikut.
Contoh.
Rasionalkan penyebut pecahan berikut.
a. $\dfrac{8}{3+\sqrt{5}}$

b. $\dfrac{3\sqrt{3}}{3-\sqrt{6}}$

Jawab.

\( \begin{array}{rcl} a. \dfrac{8}{3+\sqrt{5}} & = & \dfrac{8}{3+\sqrt{5}}\times \dfrac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \\[10pt] & = & \dfrac{8(3-\sqrt{5}}{9-5} \\[10pt]  & = & \dfrac{8}{4}(3-\sqrt{5})\\[10pt]&=&2(3-\sqrt{5})\\[10pt]&=&6-2\sqrt{5} \end{array}\)

\( \begin{array}{rcl} b. \dfrac{3\sqrt{3}}{3-\sqrt{6}} & = & \dfrac{3}{3-\sqrt{6}}\times \dfrac{3+\sqrt{6}}{3+\sqrt{6}} \\[13pt] & = & \dfrac{3\sqrt{3}\ (3+\sqrt{6})}{9-6} \\[12pt]  & = & \dfrac{3\sqrt{3}\ (3+\sqrt{6})}{3}\\[12pt]&=&\sqrt{3}(3+\sqrt{6})\\[12pt]&=&3\sqrt{3}+\sqrt{18} \end{array}\)

3. Merasionalkan bentuk $\dfrac{c}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$
Sama seperti bentuk sebelumnya, cara merasionalkan bentuk $\dfrac{c}{\sqrt{a}\pm\sqrt{b}}$ adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan akar sekawan dari $\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$. Bentuk sekawan dari $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ adalah $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dan sebaliknya.

Contoh.
Rasionalkan penyebut pecahan berikut.
a. $\dfrac{8}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$

b. $\dfrac{5}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ 

Jawab.

\( \begin{array}{rcl} a. \dfrac{8}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}& = & \dfrac{8}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\\[12pt] & = & \dfrac{8\ (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2} \\[12pt]  & = & \dfrac{8}{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2}) \end{array}\)

\( \begin{array}{rcl} b. \dfrac{5}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}& = & \dfrac{5}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}\times \dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}\\[14pt] & = & \dfrac{5\ (3\sqrt{2}+\sqrt{3})}{18-3} \\[12pt]  & = & \dfrac{5\ (3\sqrt{2}+\sqrt{3})}{15}\\[12pt]&=&\dfrac{1}{3}\ (3\sqrt{2}+\sqrt{3})\\[12pt]&=&\sqrt{2}+\dfrac{1}{3}\ \sqrt{3}\end{array}\)

Bilangan berpangkat Pecahan

Bentuk $\sqrt{a}$ dengan $a$ bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan $a$. Oleh karena itu $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{10}$ merupakan bentuk akar kuadrat. Bentuk akar kuadrat tersebut dapat diubah menjadi bentuk pangkat pecahan, yaitu $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}, \sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}, \sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}, \sqrt{10}=10^{\frac{1}{2}}$.
Untuk lebih memahami tentang pangkat, lihat kembali materi tentang bilangan berpangkat.Selanjutnya perhatikan definisi berikut.

$\sqrt[n]{m}=a^{\frac{m}{n}}$
dengan $a\ge 0$ dan $m, n$ bilangan bulat positif.

Contoh.
1. Nyatakan bentuk akar berikut ke dalam bentuk bilangan berpangkat.
a. $\sqrt[3]{4}$

b. $\sqrt[5]{16}$

2. Nyatakan bentuk bilangan berpangkat pecahan berikut menjadi bentuk akar.

a. $3^{\frac{2}{3}}$ 

b. $2^{\frac{3}{5}}$

Jawab.

1. a. $\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^2}=2^{\frac{2}{3}}$

b. $\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{2^4}=2^{\frac{4}{5}}$

2.a. $3^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{3^2}=\sqrt[3]{9}$

b. $2^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{2^3}=\sqrt[5]{8}$

Evaluasi

Saatnya kita melakukan evaluasi terhadap materi bentuk akar dan pangkat pecahan yang telah dipelajari. Silakan kerjakan soal berikut ini dengan cara :
1. Klik pada tombol jawaban yang benar.
2. Klik Next untuk berpindah ke soal berikutnya.
3. Jika sudah selesai mengerjakan semua soal dan akan mengirim jawabannya, klik tombol Submit.
4. Lihat perolehan skor yang tercantum di bagian bawah soal.
5. Nilai yang diperoleh adalah jumlah skor dibagi skor maksimal dikalikan 100.
Soal :

Penutup

Demikian artikel tentang materi pelajaran matematika pada subbab bentuk akar dan pangkat pecahan. Jika ada kesalahan mohon dikoreksi dan jika ada saran silakan tuliskan di sini. Semoga bermanfaat. Terima kasih.

Mau donasi lewat mana?

Paypal
Bank Rakyat Indonesia - An. Aan Triono / Rek : 0357-01-132169-50-3
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi sedikit donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
https://blog.choipanwendy.com