Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan
Bilangan irasional sangat
erat hubungannya dengan bentuk akar. Bilangan $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$
adalah contoh-contoh bilangan irasional dalam bentuk akar.
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
$\dfrac{a}{b}$ dengan $a, b$ bilangan bulat dan $b\ne 0$.
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam
bentuk $\dfrac{a}{b}$ dengan $a, b$ bilangan bulat dan $b\ne 0$.
Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan.
Contoh bilangan rasional adalah $-5, -\dfrac{2}{5},\ 0,\ 3,\ \dfrac{3}{4}$.
Contoh bilangan irasional adalah $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$.
Bilangan-bilangan tersebut apabila dihitung dengan kalkulator merupakan
desimal yang tak berhenti atau bukan desimal berulang. Misalnya $\sqrt{2} =
1,414213562....$. Gabungan antara bilangan rasional dan bilangan irasional
disebut bilangan real $(R)$.
Pengertian Bentuk Akar
Perhatikan contoh berikut.
1. $\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2$
1. $\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2$
2. $\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3$
3. $\sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4$
Perhitungan akar kuadrat bilangan-bilangan tersebut memenuhi definisi
berikut.
Definisi : $\sqrt{a^2}=a$, dengan a bilangan real positif.
Sekarang, misalkan ambil contoh $\sqrt{2}$, berdasarkan definisi tersebut
maka kita tidak dapat mencari suatu bilangan rasional yang apabila
dipangkatkan dua, hasilnya 2. Bilangan seperti ini dinamakan
bentuk akar. Contoh bentuk akar adalah $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$.
Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
1. Penjumlahan dan Pengurangan
$a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}$
$a\sqrt{c}-b\sqrt{c}=(a-b)\sqrt{c}$
dengan $a, b, c\in R$ dan $c\ge 0$
Contoh :
Sederhanakan bentuk berikut.
a. $4\sqrt{3}-2\sqrt{3}$
b. $2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-4\sqrt{5}$
c. $15\sqrt{7}-25\sqrt{7}$
Jawab.
a. $4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=(4-2)\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
b.
$2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-4\sqrt{5}=(2+3-4)\sqrt{5}=(5-4)\sqrt{5}=\sqrt{5}$
c. $15\sqrt{7}-25\sqrt{7}=(15-25)\sqrt{7}= -10\sqrt{7}$
2. Perkalian
$a\sqrt{b}\times c\sqrt{d}=ac\sqrt{bd}$ dengan $a, b, c, d \in R$ dan $b\ge 0, d\ge 0$
Contoh.
Tentukan hasil operasi berikut.
a. $2\sqrt{3}\times 5\sqrt{2}$
b. $\sqrt{8}\times \sqrt{12}$
c. $(2\sqrt{5})(2\sqrt{2})-3\sqrt{2}(3\sqrt{5}-2\sqrt{3})$
Jawab.
\( \begin{array}{rcl}a. 2\sqrt{3}\times 5\sqrt{2} & = & (2\times
5)\times \sqrt{3}\times \sqrt{2} \\[10pt] & = & (2\times 5)\times
\sqrt{3\times 2} \\[10pt] & = & 10\times
\sqrt{6}\\[10pt]&=&10\sqrt{6}\end{array}\)
\(\begin{array}{rcl}b. \sqrt{8}\times \sqrt{12} & = & \sqrt{8\times
12} \\[10pt] & = & \sqrt{96} \\[10pt] & = & \sqrt{16\times
6}\\[10pt]&=&4\sqrt{6}\end{array}\)
\(\begin{array}{rcl}c.
(2\sqrt{5})(2\sqrt{2})-3\sqrt{2}(3\sqrt{5}-2\sqrt{3}) & = &
2\times 2\times \sqrt{5\times 2}-3\times 3\times \sqrt{2\times 5}+3\times
2\times \sqrt{2\times 3}\\[10pt] & = & 4\sqrt{10}-9\sqrt{10}+6\sqrt{6}\\[10pt]
& = & -5\sqrt{10}+6\sqrt{6}\end{array}\)
3. Pembagian
$\dfrac{p\sqrt{a}}{q\sqrt{b}}=\dfrac{p}{q} \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ , dengan $a, b, p, q$ bilangan real dengan $a\ge 0$ dan $b\ge 0$
Contoh.
Tentukan hasil pembagian bentuk akar berikut.
a. $\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{28}}$
b. $\dfrac{10\sqrt{8}}{5\sqrt{2}}$
Jawab.
a.
\(\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{28}}=\sqrt{\dfrac{7}{28}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}\)
b. $\dfrac{10\sqrt{8}}{5\sqrt{2}}=\dfrac{10\sqrt{4\times
2}}{5\sqrt{2}}=\dfrac{20\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}=4$
Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan
Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut pecahan
bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan
rasional.
1. Merasionalkan bentuk $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$
Cara merasionalkan bentuk $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$ adalah dengan mengalikan
pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan bentuk sekawan dari
penyebutnya, yaitu :
$\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a}{\sqrt{b}}\times \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{b}=\dfrac{a}{b}\sqrt{b}$
Contoh.
Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut, kemudian sederhanakan.
a. $\dfrac{4}{\sqrt{5}}$
b. $\dfrac{-6}{\sqrt{7}}$
c. $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$
Jawab.
a. $\dfrac{4}{\sqrt{5}}=\dfrac{4}{\sqrt{5}}\times
\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{4}{5}\sqrt{5}$
2. Klik Next untuk berpindah ke soal berikutnya.
3. Jika sudah selesai mengerjakan semua soal dan akan mengirim jawabannya, klik tombol Submit.
4. Lihat perolehan skor yang tercantum di bagian bawah soal.
5. Nilai yang diperoleh adalah jumlah skor dibagi skor maksimal dikalikan 100.
Soal :
b. $\dfrac{-6}{\sqrt{7}}=\dfrac{-6}{\sqrt{7}}\times
\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{-6\sqrt{7}}{7}=-\dfrac{6}{7}\sqrt{7}$
c. $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\times
\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{18}}{6}=\dfrac{\sqrt{9\times
2}}{6}=\dfrac{3\sqrt{2}}{6}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$
2. Merasionalkan bentuk $(a + \sqrt{b})$ atau $(a - \sqrt{b})$
Pecahan dengan penyebut berbentuk $(a+\sqrt{b})$ atau $(a-\sqrt{b})$
dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan
bentuk akar sekawannya. Sekawan dari $(a+\sqrt{b}$ adalah $(a-\sqrt{b}$,
dan sebaliknya. Perhatikan contoh berikut.
Contoh.
Rasionalkan penyebut pecahan berikut.
a. $\dfrac{8}{3+\sqrt{5}}$
b. $\dfrac{3\sqrt{3}}{3-\sqrt{6}}$
Jawab.
\( \begin{array}{rcl} a. \dfrac{8}{3+\sqrt{5}} & = &
\dfrac{8}{3+\sqrt{5}}\times \dfrac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \\[10pt] & =
& \dfrac{8(3-\sqrt{5}}{9-5} \\[10pt] & = &
\dfrac{8}{4}(3-\sqrt{5})\\[10pt]&=&2(3-\sqrt{5})\\[10pt]&=&6-2\sqrt{5}
\end{array}\)
\( \begin{array}{rcl} b. \dfrac{3\sqrt{3}}{3-\sqrt{6}} & = &
\dfrac{3}{3-\sqrt{6}}\times \dfrac{3+\sqrt{6}}{3+\sqrt{6}} \\[13pt] & =
& \dfrac{3\sqrt{3}\ (3+\sqrt{6})}{9-6} \\[12pt] & = &
\dfrac{3\sqrt{3}\
(3+\sqrt{6})}{3}\\[12pt]&=&\sqrt{3}(3+\sqrt{6})\\[12pt]&=&3\sqrt{3}+\sqrt{18}
\end{array}\)
3. Merasionalkan bentuk $\dfrac{c}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$
Sama seperti bentuk sebelumnya, cara merasionalkan bentuk
$\dfrac{c}{\sqrt{a}\pm\sqrt{b}}$ adalah dengan mengalikan pembilang dan
penyebutnya dengan akar sekawan dari $\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$. Bentuk sekawan
dari $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ adalah $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dan
sebaliknya.
Contoh.
Rasionalkan penyebut pecahan berikut.
a. $\dfrac{8}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$
b. $\dfrac{5}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}$
Jawab.
\( \begin{array}{rcl} a. \dfrac{8}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}& = &
\dfrac{8}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\times
\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\\[12pt] & = & \dfrac{8\
(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2} \\[12pt] & = &
\dfrac{8}{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2}) \end{array}\)
\( \begin{array}{rcl} b. \dfrac{5}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}& = &
\dfrac{5}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}\times
\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}\\[14pt] & = &
\dfrac{5\ (3\sqrt{2}+\sqrt{3})}{18-3} \\[12pt] & = & \dfrac{5\
(3\sqrt{2}+\sqrt{3})}{15}\\[12pt]&=&\dfrac{1}{3}\
(3\sqrt{2}+\sqrt{3})\\[12pt]&=&\sqrt{2}+\dfrac{1}{3}\
\sqrt{3}\end{array}\)
Bilangan berpangkat Pecahan
Bentuk $\sqrt{a}$ dengan $a$ bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk
akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama
dengan $a$. Oleh karena itu $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{10}$
merupakan bentuk akar kuadrat. Bentuk akar kuadrat tersebut dapat diubah
menjadi bentuk pangkat pecahan, yaitu $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}},
\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}, \sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}},
\sqrt{10}=10^{\frac{1}{2}}$.
Untuk lebih memahami tentang pangkat, lihat kembali materi tentang bilangan berpangkat.Selanjutnya perhatikan definisi berikut.
$\sqrt[n]{m}=a^{\frac{m}{n}}$
dengan $a\ge 0$ dan $m, n$ bilangan bulat positif.
Contoh.
1. Nyatakan bentuk akar berikut ke dalam bentuk bilangan
berpangkat.
a. $\sqrt[3]{4}$
b. $\sqrt[5]{16}$
2. Nyatakan bentuk bilangan berpangkat pecahan berikut menjadi bentuk
akar.
a. $3^{\frac{2}{3}}$
b. $2^{\frac{3}{5}}$
Jawab.
1. a. $\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^2}=2^{\frac{2}{3}}$
b. $\sqrt[5]{16}=\sqrt[5]{2^4}=2^{\frac{4}{5}}$
2.a. $3^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{3^2}=\sqrt[3]{9}$
b. $2^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{2^3}=\sqrt[5]{8}$
Evaluasi
Saatnya kita melakukan evaluasi terhadap materi bentuk akar dan pangkat
pecahan yang telah dipelajari. Silakan kerjakan soal berikut ini dengan
cara :
1. Klik pada tombol jawaban yang benar.2. Klik Next untuk berpindah ke soal berikutnya.
3. Jika sudah selesai mengerjakan semua soal dan akan mengirim jawabannya, klik tombol Submit.
4. Lihat perolehan skor yang tercantum di bagian bawah soal.
5. Nilai yang diperoleh adalah jumlah skor dibagi skor maksimal dikalikan 100.
Soal :
Penutup
Demikian artikel tentang materi pelajaran matematika pada subbab bentuk
akar dan pangkat pecahan. Jika ada kesalahan mohon dikoreksi dan jika
ada saran silakan tuliskan di sini. Semoga bermanfaat. Terima kasih.
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
Posting Komentar
image quote pre code