Bola
A. Kompetensi Dasar
3.7 Membuat generalisasi luas permukaan dan volume bangun ruang sisi lengkung (tabung, kerucut dan bola).
4.7 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan luas permukaan dan volume bangun ruang sisi lengkung (tabung, kerucut, dan bola) serta gabungan beberapa bangun ruang sisi lengkung.
B. Tujuan Pembelajaran (Materi Bola)
Setelah mempelajari materi kerucut ini, diharapkan dapat :
1. Menyebutkan unsur-unsur bola.
2. Menghitung luas permukaan bola.
3. Menghitung volume bola.
4. Menghitung perbandingan volume bola karena perubahan ukuran jari-jari.
6. Menghitung besar perubahan volume bola, jika jari-jari berubah.
C. Materi
1. Unsur-unsur Bola
Bola merupakan bangun ruang sisi lengkung yang dibatasi oleh satu bidang lengkung. Bola dapat dibentuk dari bangun setengah lingkaran yang diputar sejauh 360° pada garis tengahnya. Perhatikan gambar berikut.
Gambar (a) merupakan gambar setengah lingkaran. Jika bangun tersebut diputar 360° pada garis tengah AB, diperoleh bangun seperti pada gambar (b). Dari gambar tersebut tampak unsur-unsurnya yaitu :
- Memiliki satu sisi lengkung sebagai selimut bola.
- Jarak dari pusat bola ke titik-titik pada sisi bola disebut jari-jari bola (r)
2. Luas Permukaan Bola
Untuk mengetahui luas permukaan bola, lakukanlah kegiatan berikut ini.
- Sediakan sebuah bola berukuran sedang, misalnya bola sepak, benang kasur, karton, penggaris, dan pulpen.
- Ukurlah keliling bola tersebut menggunakan benang kasur.
- Lilitkan benang kasur pada permukaan setengah bola sampai penuh, seperti pada gambar berikut.
- Buatlah persegipanjang dari kertas karton dengan ukuran panjang sama dengan keliling bola dan lebar sama dengan diameter bola seperti pada gambar berikut.
- Lilitkan benang yang tadi digunakan untuk melilit permukaan setengah bola pada persegipanjang yang kamu buat tadi. Lilitkan sampai habis.
- Jika kamu melakukannya dengan benar, tampak bahwa benang dapat menutupi persegipanjang selebar jari-jari bola (r). Perhatikan gambar berikut.
- Hitunglah luas persegipanjang yang telah ditutupi benang. Dapatkah kamu menemukan hubungannya dengan luas permukaan setengah bola?
Dari kegiatan tersebut, jelas bahwa luas permukaan setengah bola sama dengan luas persegipanjang.
Sehingga,
$\begin{aligned}
\text{Luas permukaan bola} &=2\times \text{Luas permukaan setengah bola}\\
&=2\times 2\pi r\\
&=4\pi r^2
\end{aligned}$Jadi, luas permukaan bola dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut.
Luas permukaan bola = $4\pi r^2$
Contoh :
1. Perhatikan gambar berikut.
Bola tersebut memiliki jari-jari $7$ cm. Tentukan luas permukaan bola tersebut.
Penyelesaian:
$\begin{aligned}
\text{Luas permukaan bola} &=4\pi r^2\\
&=4\times \frac{22}{7}\times (7)^2\\
&=4\times \frac{22}{7}\times 7\times 7\\
&=616
\end{aligned}$Jadi, luas permukaan bola tersebut adalah $616\ cm^2$.
2. Jika luas permukaan suatu bola $154\ cm^2$, tentukan panjang jari-jari bola tersebut.
Penyelesaian :
$\begin{aligned}
\text{Luas permukaan bola} &=4\pi r^2\\
154&=4\times \frac{22}{7}\times r^2\\
r^2&=\frac{154\times 7}{88}\\
r^2&=12,25\\
r&=\sqrt{12,25}\\
r&=3,5
\end{aligned}$Jadi, panjang jari-jari bola tersebut adalah $3,5\ cm^2$.
3. Perhatikan bangun berikut.
Bangun tersebut berbentuk belahan bola padat memiliki jari-jari $10$ cm. Tentukan luas permukaan bangun tersebut.
Penyelesaian :
Luas permukaan belahan bola padat = luas permukaan $\frac{1}{2}$ bola + luas lingkaran.
$\begin{aligned}
\text{Luas belahan bola padat}&=\text{luas setengah bola}+\text{luas lingkaran}\\
&=\frac{1}{2}(4\pi r^2)+\pi r^2\\
&=2\pi r^2+\pi r^2\\
&=3\pi r^2\\
&=3\times 3,14\times 10^2\\
&=942
\end{aligned}$Jadi, luas permukaan bangun tersebut adalah $942\ cm^2$.
3. Volume bola
Perhatikan gambar berikut.
Gambar (a) merupakan gambar setengah bola dengan jari-jari $r$. Gambar (b) dan gambar (c) menunjukkan dua buah kerucut dengan jari-jari $r$ dan tinggi $r$. Jika dilakukan percobaan dengan menuangkan cairan pada kedua kerucut sampai penuh, kemudian cairan dari kedua kerucut tersebut dituangkan dalam setengah bola maka cairan tersebut tepat memenuhi bentuk setengah bola. dari percobaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
$\begin{aligned}
\text{Volume setengah bola}&=2\times \text{volume kerucut}\\
&=2\times \frac{1}{3}\pi r^2t\\
&=2\times \frac{1}{3}\pi r^2r\ (\text{karena t kerucut = r bola})\\
&=\frac{2}{3}\pi r^3\\
\end{aligned}$Jadi, volume bola adalah :
$\begin{aligned}
\text{Volume bola}&=2\times \text{volume setengah bola}\\
&=2\times \frac{2}{3}\pi r^3\\
&=\frac{4}{3}\pi r^3\\
\end{aligned}$Karena $r\ =\ \frac{1}{2}d$ maka bentuk lain volume bola adalah sebagai berikut.
$\begin{aligned}
\text{Volume bola}&=\frac{4}{3}\pi r^3\\
&=\frac{4}{3}\pi \ (\frac{1}{2}d)^3\\
&=\frac{4}{3}\pi \ \frac{1}{8}d^3\\
&=\frac{1}{6}\pi d^3
\end{aligned}$
d = diameter
Volume bola = $\frac{4}{3}\pi r^3$ atau Volume bola = $\frac{1}{6}\pi d^3$
Keterangan :
r = jari-jarid = diameter
Contoh :
1. Diketahui jari-jari sebuah bola adalah $21$ cm. Jika $\pi\approx \frac{22}{7}$, tentukan volume benda tersebut.
2. Sebuah bola berjari-jari $6$ cm dimasukkan ke dalam tabung berisi air sehingga permukaan di dalam tabung naik. Jika jari-jari alas tabung $15$ cm, tentukan kenaikan air dalam tabung tersebut.
Penyelesian :
1. Voume bola adalah :
$\begin {aligned}
\text{Voume bola}&=\frac{4}{3}\pi r^3\\
&=\frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times 21^3\\
&=\frac{4}{3}\times \frac{22}{7}\times 21\times 21\times 21\\
&=38.808
\end{aligned}$Jadi, volume bola adalah $38.808\ cm^3$.
2. Misalkan jari-jari bola adalah $r_a$ dan jari-jari tabung adalah $r_b$. Bentuk air yang naik mengikuti bentuk tabung, sehingga volume air yang naik = $\pi r_b^2 t$.
$\begin {aligned}
\text{Voume air yang naik}&=\text{Voume bola}\\
\pi r_{b}^2t&=\frac{4}{3}\pi r_{a}^3\\
r_{b}^2t&=\frac{4}{3} r_{a}^3\\
15^2t&=\frac{4}{3}\times 6^3\\
225t&=288\\
t&=\frac{288}{225}\\
t&=1,28
\end{aligned}$
Jadi, kenaikan air dalam tabung tersebut adalah $1,28$ cm.
4. Perbandingan volume bola
Perhatikan gambar berikut.
Suatu bola semula berjari-jari r dan volume v. Jika jari-jari mengalami penambahan atau pengurangan sebesar a satuan, diperoleh perbandingan :
$V:V_{baru}=r^3 : (r+a)^3$
Jika jari-jarinya mengalami perubahan k kali jari-jari semula, diperoleh perbandingan :
$V:V_{baru}=1:k^3$
Contoh :
Suatu bola berjari-jari $2$ cm. Jika jari-jari bola diubah, tentukan perbandingan volume bola semula dan bola sesudah ada perubahan jari-jari berikut :
a. jari-jari bertambah $3$ cm.
b. jari-jari berkurang $1$ cm.
c. jari-jari berubah $2$ kali jari-jari semula.
Penyelesaian :
a. Jari-jari bertambah $3$ cm, diperoleh perbandingan :
$\begin{aligned}
V:V_{baru}&=r^3 : (r+a)^3\\
&=2^3:(2+3)^3\\
&=2^3:5^3\\
&=8:125
\end{aligned}$Jadi, perbandingannya adalah $8:125$.
b. Jari-jari berkurang $1$ cm, diperoleh perbandingan :
$\begin{aligned}
V:V_{baru}&=r^3 : (r-a)^3\\
&=2^3:(2-1)^3\\
&=2^3:1\\
&=8:1
\end{aligned}$Jadi, perbandingannya adalah $8:1$.
c. Jari-jari berubah 2 kali jari-jari semula, diperoleh perbandingan :
$\begin{aligned}
V:V_{baru}&=1 :k^3\\
&=1^3:2^3\\
&=1:8\\
\end{aligned}$6. Simulasi GeoGebra
Silakan geser slider ke kanan atau ke kiri untuk mengubah ukuran jari-jari bola, klik tombol ON dan OFF untuk menghidupkan/mematikan animasi luas permukaan dan volume bola.
7. Evaluasi
Ada dua buah wadah toples untuk tempat menyimpan gula seperti tampak pada gambar berikut.
Demikian materi tentang bola. Jika ada saran, kritik, dan sanggahan, silakan tulis di kolom komentar. Semoga bermanfaat, terima kasih.
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
1 komentar
image quote pre code