Cara Mudah Mencari KPK dan FPB
Pengantar
Perhatikan contoh permasalahan berikut. Naomi, Uciha, dan Sakiro mempunyai langganan mie ayam yang sama. Naomi membeli mie ayam setiap 2 hari sekali, Uciha setiap 3 hari sekali, sedangkan Sakiro setiap 5 hari sekali. Jika pada hari ini mereka membeli mie ayam bersama-sama, tentukan setiap berapa hari mereka makan mie ayam bersama-sama?
Permasalahan yang disajikan di atas dapat kita cari penyelesaiannya menggunakan konsep Kelipatan Persekutuan terkecil (KPK). Untuk mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua bilangan atau lebih dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu : daftar kelipatan, faktorisasi prima, dan pembagian bersusun. Bagaimana caranya? Simak penjelasan berikut.
Daftar Kelipatan
Di bawah ini disajikan tabel kelipatan bilangan bulat posistif.
| Bilangan a | a x 1 | a x 2 | a x 3 | a x 4 | a x 5 | a x 6 | a x 7 | a x 8 | a x 9 | a x 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 |
Dari tabel tersebut terlihat bahwa bilangan-bilangan yang sama antara kelipatan 1 dan 2 adalah 2, 4, 6, 8, dan 10. Bilangan 2, 4, 6, 8, dan 10 disebut sebagai kelipatan persekutuan dari 1 dan 2. Sedangkan 2 disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 1 dan 2.
Contoh.
Berdasarkan tabel di atas, tentukan lima kelipatan dari bilangan-bilangan berikut serta tentukan KPKnya.
a. 1 dan 3
b. 2 dan 5
c. 4 dan 7
Jawab.
a. Kelipatan bilangan 1 dan 3 adalah : 3, 6, 9, 12, 15.
KPK dari 1 dan 3 adalah : 3
b. Kelipatan bilangan 2 dan 5 adalah : 10, 20, 30, 40, 50
KPK dari 2 dan 5 adalah : 10
c. Kelipatan bilangan 4 dan 7 adalah : 28, 56, 84, 112, 140
KPK dari 4 dan 7 adalah : 28
Faktorisasi Prima
Selain menggunakan cara mendaftar seperti contoh di atas, untuk mencari KPK dapat dilakukan dengan faktorisasi prima. Masih ingatkah Anda apa yang dimaksud dengan bilangan prima? Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya memiliki dua faktor yaitu bilangan itu sendiri dan angka 1. Contoh dari bilangan prima adalah angka 2, 3, 5, 7, 11, dan seterusnya.
Bagaimana dengan faktorisasi prima? Faktorisasi prima adalah suatu penguraian bilangan yang menjadi perkalian dari faktor-faktor prima. Metode faktorisasi prima dapat dilakukan dengan menggunakan pohon faktor.
Contoh.
Tentukan KPK dari 90 dan 168
Jawab.
Faktorisasi prima dari bilangan 90 dan 168 adalah sebagai berikut.
$90=2\times 3^2\times 5$
$168=2^3\times 3\times 7$
Kemudian kita kalikan semua faktor pada masing-masing bilangan dengan ketentuan : jika terdapat faktor prima yang sama pada kedua bilangan, maka dipilih yang pangkat tertinggi.
KPK dari 90 dan 168 adalah : $2^3\times 3^2\times 5\times 7=2.520$
untuk mencari nilai KPK Anda tinggal mengalikan semua faktor bilangan prima, dan apabila ada bilangan yang sama maka pilih pangkat yang lebih besar.
Kalkulator KPK
Berikut ini Admin berikan kalkulator untuk menghitung kelipatan persekutuan Terkecil dari beberapa bilangan. masukkan bilangan tersebut, dan pisahkan dengan koma, kemudian klik hitung.
Kalkulator KPK
Masukkan daftar angka yang akan dicari KPK (pisahkan dengan koma):
Hasil Perhitungan
Pembagian Bersusun
Untuk mencari KPK dengan menggunakan cara pembagian bersusun, maka kita harus membagi bilangan tersebut secara bersusun sehingga hasil bagi semua bilangan adalah 1, kemudian kalikan semua pembaginya.
Contoh.
Tentukan KPK dari 9, 15, dan 42
Jawab.
Langkah pertama :
Bagi ketiga bilangan tersebut secara bersusun hingga hasil bagi semua bilangan adalah 1. Perhatikan gambar berikut.
Tanda panah merah berarti bilangan tersebut tidak terbagi habis oleh pembaginya.
Langkah kedua.
Kalikan semua pembagi.
KPK dari 9, 15, dan 42 adalah $3 \times 2 \times 7 \times5 \times 3=630$
Faktor Persekutuan
a dikatakan faktor dari bilangan bulat b jika a membagi habis b. Dengan kata lain dapat ditulis $b = a\times n$, dengan n adalah suatu bilangan bulat.
Contoh.
Faktor positif dari 6 adalah : 1, 2, 3, 6.
Faktor positif dari 8 adalah : 1, 2, 4, 8.
Faktor positif dari 24 adalah : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Himpunan faktor persekutuan dari 6 dan 8 adalah ={1, 2}
Faktor Persekutuan Terbesar
FPB dari 2 atau lebih bilangan merupakan bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua (atau lebih) bilangan tersebut. Untuk mencari faktor persekutuan terbesar (FPB) dari beberapa bilangan dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu : dari anggota himpunan faktor persekutuan bilangan-bilangan tersebut yang terbesar, mengalikan faktor-faktor prima yang sama dengan pangkat terendah, dan dengan pembagian bersusun. Bagaimana caranya? Perhatikan contoh berikut.
Contoh pertama.
Carilah FPB dari bilangan 20 dan 12.
Jawab.
Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10, 20
Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12
Faktor yang sama dan terbesar adalah 4
Jadi FPB dari bilangan 20 dan 12 adalah 4
Contoh kedua
Carilah FPB dari bilangan 90 dan 168.
Jawab.
Untuk contoh kedua ini kita kan menggunakan faktor-faktor prima dari bilangan tersebut. Maka hal yang perlu Anda lakukan adalah membuat pohon faktornya terlebih dahulu, yaitu seperti pada gambar dibawah :
Dari pohon faktor tersebut terlihat bahwa :
$90 = 2\times 3^2\times 5$
$168 = 2^3\times 3\times 7$
Untuk mencari FPBnya maka kita kalikan semua faktor yang sama pada masing-masing bilangan dengan ketentuan : pilih yang pangkat terendah.
Jadi FPB dari 90 dan 160 adalah : 2 x 3 = 6.
untuk mencari nilai FPB Anda tinggal mengalikan semua faktor bilangan prima yang sama, dan pilih pangkat yang terendah.
Contoh ketiga.
Carilah FPB dari bilangan 24, 48, 72
Jawab.
Untuk contoh ketiga ini kita akan menggunakan cara pembagian bersusun. Perhatikan gambar berikut.
Selanjutnya kita kalikan pembagi yang habis membagi semua bilangan.
Jadi FPB dari 24, 48, dan 72 adalah : $2\times 2\times 3 = 12$
Kalkulator FPB
Untuk memudahkan dalam mencari faktor persekutuan terbesar (FPB) dari beberapa bilangan, berikut Admin berikan kalkulator FPB. Silakan buka di sini.
Menyelesaikan masalah sehari-hari menggunakan konsep KPK dan FPB
Contoh.
1. Terdapat 2 motor di rumah Ani yang harus secara rutin di servis ke bengkel. Motor pertama harus di servis setiap 30 hari sekali, sedangkan motor satunya harus diservis setiap 25 hari sekali. Setiap berapa hari kah Ani harus membawa kedua motornya untuk diservis bersama-sama?
Jawab.
Faktorisasi dari $25=5\times 5=5^2$
Faktorisasi dari $30=2\times 3\times 5$
Diperoleh KPK dari 25 dan 30 adalah $2\times 3 \times 5^2 = 150$
Jadi, setiap 150 hari Ani akan membawa kedua motornya untuk diservis bersama-sama.
2. Andi mempunyai 15 roti coklat dan 20 roti pisang. Roti tersebut akan dimasukkan kedalam kantong plastik dengan komposisi yang sama untuk dibagikan kepada temannya. Berapa kantong berisi roti yang dapat dibuat Andi?
Jawab.
Akan dicari FPB dari 15 dan 20 menggunakan metode faktor
Faktor 15 = 1, 3, 5, 15
Faktor 20 = 1, 2, 4, 5, 10, 20
FPB dari 15 dan 20 adalah faktor yang sama dan terbesar, maka FPB nya adalah 5
Jadi, jumlah kantong plastik yang berisi roti dengan komposisi yang sama adalah 5 kantong plastik.
3. Pak Amin mendapat giliran ronda setiap 4 hari, Pak Andi mendapat giliran ronda setiap 6 hari, Pak Budi mendapat giliran ronda setiap 8 hari. Jika mereka ronda bersama-sama pada tanggal 1 Agustus 2021, mereka akan rona bersama-sama untuk kedua kalinya pada tanggal...
Jawab.
Pak Amin = 4 hari
Pak Andi = 6 hari
Pak Budi = 8 hari
Kita cari faktorisasi prima dari 4, 6, dan 8
$4=2\times 2=2^2$
$6=2\times 3$
$8=2\times 2\times 2=2^3$
KPK : $2^3\times 3=24$
Jadi Pak Amin, Pak Andi, dan Pak Budi akan ronda bersama 24 hari lagi:
1 Agustus + 24 hari = 25 Agustus 2021
Evaluasi
Setelah mempelajari tentang KPK dan FPB sekarang saatnya kita mengevaluasi pemahaman tentang materi tersebut. Silakan kerjakan soal berikut ini dengan cara :
1. Klik tombol Start Quiz
2. Klik pada tombol jawaban yang benar.
3. Klik Next untuk berpindah ke soal berikutnya.
4. Klik Prev untuk kembali ke soal sebelumnya.
5. Klik Reset untuk memulai kembali.
6. Jika sudah selesai mengerjakan semua soal dan akan mengirim jawabannya, klik tombol Submit.
7. Lihat perolehan skor yang tercantum di bagian bawah soal.
8. Nilai yang diperoleh adalah jumlah skor dibagi skor maksimal dikalikan 100.
Soal :
Penutup
Demikian materi tentang cara mudah mencari KPK dan FPB dengan menggunakan metode faktor persekutuan, faktorisasi prima dan pembagian bersusun. Anda tinggal pilih cara yang paling mudah dipahami, tentu saja harus dibarengi dengan banyak latihan agar semakin mengerti. Jika ada kesalahan mohon dikoreksi, dan jika ada masukan silakan tuliskan di sini. Semoga bermanfaat. Terima kasih.
Referensi:
Buku Matematika Siswa SMP/MTs Kelas VII Semester 1. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2016
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
Posting Komentar
image quote pre code