Fungsi Diskriminan

Pengantar

fungsi diskriminan dalam persamaan kuadrat
Seperti telah dibahas pada postingan sebelumnya tentang Persamaan Kuadrat, pada persamaan kuadrat terdapat suatu komponen yang disebut diskriminan. Pada dasarnya, diskriminan merupakan suatu nilai yang berfungsi untuk menentukan jenis-jenis akar suatu fungsi kuadrat atau persamaan kuadrat. Diskriminan dinotasikan dengan \(D\), dan dirumuskan dengan : \[D=b^2-4ac\] Dengan \(a, b, c\) suatu konstanta real yang bersesuaian dengan persamaan atau fungsi kuadrat.

Definisi Diskriminan

Di dalam Wikipedia, disebutkan bahwa :

Diskriminan dari polinomial adalah kuantitas yang bergantung pada koefisien dan menentukan berbagai properti dari akar. Diskriminan polinomial umumnya didefinisikan dalam istilah fungsi polinomial dari koefisiennya.

Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Nilai diskriminan sangat menentukan jenis dan banyaknya akar suatu persamaan kuadrat. Berdasarkan nilai diskriminannya, jenis-jenis akar persamaan kuadrat dapat dibedakan menjadi 3, yaitu sebagai berikut :
  1. Jika nilai \(D>0\), persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata (real) yang berlainan.
    a. Untuk nilai \(D=b^2-4ac\) berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akar persamaan kuadrat tersebut adalah rasional.
    b. Untuk nilai \(D=b^2-4ac\) berbentuk bukan kuadrat sempurna maka kedua akar persaman kuadrat tersebut adalah irrasional.
  2. Jika nilai \(D=0\), persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata (real) yang sama.
  3. Jika nilai \(D<0\), persamaan kuadrat tidak memiliki akar-akar real atau akar-akarnya merupakan bilangan imaginer (khayal).

Contoh Soal Dan Pembahasan

Setelah mengetahui tentang jenis-jenis akar persamaan kuadrat, sekarang kita akan melihat contoh-contohnya sehingga lebih jelas dalam memahaminya.
Contoh.
1. Tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut tanpa menyelesaikan persamaannya.
a. \(2x^2+x-3\)
b. \(9x^2+12x+4=0\)
c. \(x^2+2x+3=0\)
Untuk melihat jawaban, silakan klik tombol Show all
Jawab ::

Perhatikan nilai \(a, b\), dan \(c\) pada persamaan kuadrat berikut.
\(a. 2x^2+x-3=0\)
\(a=2,\ b=1\) dan \(c=-3\)
\(\begin{array}{rcl} D& = & b^2-4ac \\ & = & (1)^2-4(2)(-3) \\ & = & 1+24\\&=&25 \end{array}\)
Karena \(D=25=5^2>0\), maka $D$ merupakan bentuk kuadrat sempurna. Jadi, kedua akar persamaan kuadrat tersebut adalah nyata, berlainan, dan rasional.

\(b. 9x^2+12x+4=0\)
\(a=9, b=12\), dan \(c=4\)
\(\begin{array}{rcl} D& = & b^2-4ac \\ & = & (12)^2-4(9)(4) \\ & = & 144-144\\&=&0 \end{array}\)
Karena \(D=0\) maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata yang sama.
Jadi, kedua akar persamaan kuadrat tersebut adalah nyata, sama (kembar), dan rasional

\(c. x^2+2x+3=0\)
\(a=1, b=2\), dan \(c=3\)
\(\begin{array}{rcl} D& = & b^2-4ac \\ & = & (2)^2-4(1)(3) \\ & = & 4-12\\&=&-8\end{array}\)
Karena \(D<0\) maka persamaan kuadrat tersebut tidak mempunyai akar nyata (khayal).

2. Diketahui persamaan kuadrat \(x^2+px+25=0\), agar persamaan tersebut memiliki akar nyata yang sama, berapakah nilai \(p\) ?
Jawab :
Supaya akar persamaan \(x^2+px++25=0\) memiliki akar nyata yang sama, maka nilai diskriminannya harus nol, \(D=0\)
\(\begin{array}{rcl} b^2-4ac& = & 0\\ p^2-4(1)(25)& = & 0 \\ p^2-100 & = & 0\\p^2&=&100\\p&=&\sqrt{100}\\p&=&\pm 10\end{array}\)
Jadi, nilai \(p\) yang memenuhi agar persamaan kuadrat tersebut memiliki akar nyata yang sama adalah \(p=\pm 10\).

Penutup

Bentuk \(b^2–4ac\) disebut diskriminan (pembeda) dari persamaan kuadrat \(ax^2+bx+c=0\) dan dilambangkan dengan huruf D, sehingga \(D = b^2 – 4ac\). Pemberian nama/istilah diskriminan \(D = b^2 – 4ac\) , dikarenakan nilai \(D = b^2 – 4ac\) ini yang mendiskriminasikan (membedakan) jenis akar-akar persamaan kuadrat. Jadi kegunaan diskriminan adalah untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat.
Demikian artikel tentang fungsi diskriminan. Jika ada kesalahan silakan koreksi, dan jika ada masukan silakan tuliskan di kolom komentar. Semoga bermanfaat. Terima kasih.
 

Mau donasi lewat mana?

Paypal
Bank Rakyat Indonesia - An. Aan Triono / Rek : 0357-01-132169-50-3
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi sedikit donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
https://blog.choipanwendy.com