Fungsi Diskriminan
Pengantar
Definisi Diskriminan
Diskriminan dari polinomial adalah kuantitas yang bergantung pada koefisien dan menentukan berbagai properti dari akar. Diskriminan polinomial umumnya didefinisikan dalam istilah fungsi polinomial dari koefisiennya.
Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
- Jika nilai \(D>0\), persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata (real) yang berlainan.
a. Untuk nilai \(D=b^2-4ac\) berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akar persamaan kuadrat tersebut adalah rasional.
b. Untuk nilai \(D=b^2-4ac\) berbentuk bukan kuadrat sempurna maka kedua akar persaman kuadrat tersebut adalah irrasional. - Jika nilai \(D=0\), persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata (real) yang sama.
- Jika nilai \(D<0\), persamaan kuadrat tidak memiliki akar-akar real atau akar-akarnya merupakan bilangan imaginer (khayal).
Contoh Soal Dan Pembahasan
Perhatikan nilai \(a, b\), dan \(c\) pada persamaan kuadrat berikut.
\(a. 2x^2+x-3=0\)
\(a=2,\ b=1\) dan \(c=-3\)
\(\begin{array}{rcl} D& = & b^2-4ac \\ & = & (1)^2-4(2)(-3) \\ & = & 1+24\\&=&25 \end{array}\)
Karena \(D=25=5^2>0\), maka $D$ merupakan bentuk kuadrat sempurna. Jadi, kedua akar persamaan kuadrat tersebut adalah nyata, berlainan, dan rasional.
\(b. 9x^2+12x+4=0\)
\(a=9, b=12\), dan \(c=4\)
\(\begin{array}{rcl} D& = & b^2-4ac \\ & = & (12)^2-4(9)(4) \\ & = & 144-144\\&=&0 \end{array}\)
Karena \(D=0\) maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata yang sama.
Jadi, kedua akar persamaan kuadrat tersebut adalah nyata, sama (kembar), dan rasional
\(c. x^2+2x+3=0\)
\(a=1, b=2\), dan \(c=3\)
\(\begin{array}{rcl} D& = & b^2-4ac \\ & = & (2)^2-4(1)(3) \\ & = & 4-12\\&=&-8\end{array}\)
Karena \(D<0\) maka persamaan kuadrat tersebut tidak mempunyai akar nyata (khayal).
Supaya akar persamaan \(x^2+px++25=0\) memiliki akar nyata yang sama, maka nilai diskriminannya harus nol, \(D=0\)
\(\begin{array}{rcl} b^2-4ac& = & 0\\ p^2-4(1)(25)& = & 0 \\ p^2-100 & = & 0\\p^2&=&100\\p&=&\sqrt{100}\\p&=&\pm 10\end{array}\)
Jadi, nilai \(p\) yang memenuhi agar persamaan kuadrat tersebut memiliki akar nyata yang sama adalah \(p=\pm 10\).
Posting Komentar
image quote pre code