PRISMA
A. Kompetensi Dasar
3.9. Membedakan dan menentukan luas permukaan dan volume bangun ruang sisi datar (kubus, balok, prisma, dan limas).
4.9 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan luas permukaan dan volume bangun ruang sisi datar (kubus, balok, prisma dan limas), serta gabungannya.
B. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi prisma, peserta didik diharapkan dapat :
- Mengenal dan menyebutkan bidang, rusuk, diagonal bidang, bidang diagonal, diagonal ruang serta tinggi prisma.
- Melukiskan jaring-jaring prisma.
- Menentukan luas permukaan prisma.
- Menemukan rumus volume dan menghitung volume prisma.
- Menghitung besar perubahan volume bangun prisma jika ukuran rusuknya berubah.
C. Materi
1. Pengertian Prisma
Perhatikan gambar berikut!
Pada gambar tersebut, bidang-bidang yang kongruen dan sejajar ditandai dengan arsiran-arsiran, sedangkan bidang-bidang lainnya berpotongan menurut garis-garis sejajar.
Dilihat dari rusuk-rusuk tegaknya, ada dua macam prisma, yaitu :
- Prisma tegak (prisma yang rusuk-rusuk tegaknya tegak lurus terhadap bidang alas dan bidang atasnya).
- Prisma miring (prisma yang rusuk-rusuk tegaknya tidak tegak lurus bidang alas dan bidang atasnya).
Prisma pada gambar (a), (b), dan (c) disebut prisma tegak, sedangkan prisma pada gambar (d) dan (e) di bawah ini disebut prisma miring.
Prisma diberi nama berdasarkan bentuk alasnya, sehingga terdapat prisma segitiga, segi empat, segi lima, dan segi n.
Prisma adalah bangun ruang sisi datar yang mempunyai sepasang sisi kongruen dan sejajar serta rusuk-rusuk tegaknya saling sejajar.
Perhatikan gambar berikut.
Bagian-bagian dari prisma segi empat $ABCD.EFGH$ pada gambar tersebut adalah :
- Titik-titik $A, B, C, D, E, F, G$ dan $H$ merupakan titik-titik sudut prisma.
- $ABCD$ adalah bidang alas prisma.
- $EFGH$ adalah bidang atas prisma.
- $ABFE, BCGF, CDHG$, dan $ADHE$ disebut sisi tegak prisma.
- $\overline {AB}, \overline {BC}, \overline {CD}$, dan $\overline {AD}$ adalah rusuk-rusuk bidang alas prisma.
- $\overline {EF}, \overline {FG}, \overline {GH}$, dan $\overline {EH}$ adalah rusuk-rusuk bidang atas prisma.
- $\overline {AE}, \overline {BF}, \overline {CG}$, dan $\overline {DH}$ adalah rusuk-rusuk tegak prisma.
- Tinggi prisma $(t)$ adalah jarak antara bidang alas dan bidang atas. Jika prisma merupakan prisma tegak maka tinggi t sama dengan panjang rusuk tegaknya.
2. Diagonal Bidang, Diagonal Ruang, dan Bidang Diagonal Prisma
Perhatikan gambar berikut.
Dari gambar tersebut, terlihat bahwa $\overline {KM}, \overline {LN}, \overline {MO},\overline {LO}$, dan $\overline {KN}$ adalah diagonal bidang alas prisma $KLMNO.PQRST$.
Selanjutnya, bidang $KMRP$ (bidang yang diarsir) disebut bidang diagonal, yaitu bidang yang memuat diagonal alas dan atasnya.
Ruas garis $LT, LS$, dan $KR$ adalah diagonal ruang pada prisma tersebut.
- Diagonal bidang alas atau atas adalah ruas garis yang menghubungkan dua buah titik sudut yang tidak bersebelahan pada bidang alas atau atas.
- Diagonal ruang adalah ruas garis yang menghubungkan titik-titik sudut pada bidang alas dan titik-titik sudut pada bidang atas yang tidak terletak pada satu bidang sisi tegak.
- Bidang diagonal prisma adalah bidang yang memuat diagonal bidang alas dan atas
3. Jaring-jaring Prisma
Perhatikan gambar berikut.
Langkah-langkah membuat jaring-jaring prisma seperti pada gambar tersebut adalah sebagai berikut :
- Buatlah prisma $PQRSTU$ seperti pada gambar di bawah ini dari kertas karton.
- Guntinglah menurut $\overline {PS}, \overline {PQ}, \overline {QR}, \overline {ST}$, dan $\overline {TU}$, kemudian bentangkan.
- Kalian akan memperoleh bentuk seperti gambar atas kanan.
4. Luas Permukaan Prisma
Perhatikan kembali gambar jaring-jaring prisma di atas. Dari gambar tersebut, diketahui bahwa $\triangle {PQR}\cong\triangle {STU}$ dan $PS\ =\ RU\ =\ QT$ sehingga luas permukaan prisma $PQR.STU$ adalah :
$\begin{aligned}&=\text{luas}\ \triangle PQR+\text{luas}\ \triangle STU+\text{luas}\ PRUS+\text{luas}\ RQTU+\text{luas}\ QRST\\&=2\times \text{luas}\ \triangle PQR+(PR\times PS)+(RQ\times RU)+(QP\times QT)\\&=2\times \text{luas}\ \triangle PQR+(PR+RQ+QP)\ \times PS\\&=2\times \text{luas alas}+\text{keliling alas}\times \text{tinggi prisma} \\ \end{aligned}$Luas permukaan prisma = $(2\times \text {luas alas}) + (\text {keliling alas}\times \text {tinggi})$
Contoh :
1. Sebuah prisma segitiga mempunyai alas berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi masing-masing $9$ cm, $12$ cm, dan $15$ cm. Jika tinggi prisma $6$ cm, tentukan luas permukaan prisma tersebut.
2. Perhatikan gambar berikut :
 |  |
Berapakah luas permukaan prisma tersebut.
Penyelesaian :
Penyelesaian :
1. Misalkan $L$ adalah luas permukaan prisma, maka :
$\begin{aligned}&L=(2\times \text{luas alas})+(\text{keliling alas}\times \text{tinggi prisma})\\&=(2\times (\frac {1}{2}\times 12\times 9))+((12+9+15)\times 6)\\&=(12\times 9)+(36\times 6)\\&=108+216\\&=324 \end{aligned}$Jadi, luas permukaan prisma tersebut adalah $324\ cm^2$.
2. a. Prisma trapesium
Luas alas = $\dfrac {1}{2}\times (4+9)\times 12 = 78\ cm^2$.
$\begin{aligned}L&=(2\times \text{luas alas})+(\text{keliling alas}\times \text{tinggi prisma})\\&=(2\times 78)+(4+13+9+12)\times 10\\&=156+380\\&=536 \end{aligned}$Jadi, luas permukaan prisma adalah $536\ cm^2$.
b. Prisma segitiga
$\begin{aligned}L&=(2\times \text{luas alas})+(\text{keliling alas}\times \text{tinggi prisma})\\&=2(\frac{1}{2}\times 3\times 4)+(3+4+5)\times 6\\&=12+72\\&=84\end{aligned}$Jadi, luas permukaan prisma adalah $84\ cm^2$.
Tentukan volume prisma tersebut.
5. Volume Prisma
Perhatikan kembali gambar prisma di atas. Untuk menentukan volume prisma $ABC.EFG$ caranya adalah sebagai berikut :
$\begin{aligned}V&=\frac {1}{2}\times \text{volume kubus ABCD.EFGH}\\&=\frac {1}{2}\times L_{alas}\times \text {tinggi}\\&=\frac {1}{2}\times (L\triangle {ABC}+L\triangle {ACD})\times \text {tinggi}\\&=\frac {1}{2}\times (2\times L\triangle {ABC})\times \text {tinggi}\\&=L\triangle {ABC} \times \text {CG}\\&=\text {Luas alas}\times \text {tinggi}\end{aligned}$Volume prisma =$\text {Luas alas}\times \text {tinggi}$
Contoh :
1. Tentukan volume prisma yang tingginya $6$ cm, dan alasnya berbentuk segitiga siku-siku dengan sisi siku-sikunya adalah $4$ cm dan $3$ cm.
2. Tentukan Tentukan volume prisma yang luas alasnya $30\ cm^2$ dan tingginya $2$ cm.
3. Perhatikan gambar berikut.
Penyelesian :
1. Luas alas prisma = $\dfrac {1}{2}\times 4\times 3 = 6\ cm^2$
$\begin{aligned}V&=\text {Luas alas}\times \text {tinggi}\\&=6\times 6\\&=36\end{aligned}$Jadi, volume prisma adalah $36\ cm^3$.
2. Volume prisma :
$\begin{aligned}V&=\text {Luas alas}\times \text {tinggi}\\&=30\times 2\\&=60\end{aligned}$
Jadi, volume prisma adalah $60\ cm^3$.
Jadi, volume prisma adalah $60\ cm^3$.
3. Perhatikan $\triangle {ABL}$.
Karena $\triangle {ABL}$ segitiga sama kaki, maka $AL = BL$, sehingga :
$\begin{aligned} LM^2&=10^2-6^2\\&=100-36\\&=64\\LM&=\sqrt {64}\\&=8\\\end{aligned}$
$\text {Luas}\ \triangle {ABL}=\frac {1}{2}\times 12\times 8=48$
$\text {Luas}\ \triangle {ABL}=\frac {1}{2}\times 12\times 8=48$
$\begin{aligned}V&=\text {Luas alas}\times \text {tinggi}\\&=5\times \text {luas}\ \triangle {ABL}\times LK\\&=5\times 48\times 20\\&=4.800\end{aligned}$
Jadi, volume prisma adalah $4.800\ cm^3$.
6. Perubahan Volume Prisma
Volume prisma ditentukan dari besarnya masing-masing alas dan tingginya. Jika alas dan tinggi suatu prisma berubah, volumenya juga akan berubah. Perubahan volume pada prisma dapat ditentukan dengan membuat selisih antara volume semula dan volume setelah terjadi perubahan.
Contoh :
Diketahui sebuah prisma segitiga dengan alas berbentuk segitiga siku-siku yang panjang sisinya $3$ cm, $4$ cm, dan $5$ cm. Tinggi prisma $10$ cm. Jika sisi-sisi alasnya diperbesar menjadi $6$ cm, $8$ cm, dan $10$ cm dengan tinggi prisma tetap, tentukan :
a. Perbandingan volume prisma setelah dan sebelum diperbesar sisi-sisinya.
b. Besar perubahan volume prisma.
Penyelesaian :
Misalkan $L_{2}$ = luas alas setelah sisi diperbesar, $t$ = tinggi semula, $L_{1}$ = luas alas semula, $V_{2}$ = volume prisma setelah terjadi perubahan, dan $V_{1}$ = volume prisma semula.
a. Perbandingan volume prisma
$\begin {aligned} \frac {V_{2}}{V_{1}}&=\frac {L_{2}\times t}{L_{1}\times t}\\\frac {V_{2}}{V_{1}}&=\frac {L_{2}}{L_{1}}=\frac {\frac {1}{2}\times 6\times8}{\frac {1}{2}\times 3\times4}\\V_{2}:V_{1}&=4 : 1\end{aligned}$Jadi, perbandingan volume prisma sesudah dan sebelum sisi diperbesar adalah $4 : 1$.
b. Besar perubahan volume
$\begin {aligned} V_{2}-V_{1}&=4V_{1}-V_{1}\\&=3V_{1}\\&=3\times \frac {1}{2}\times 3\times 4\times 10\\&=180\end{aligned}$
Jadi, besar perubahan volume prisma setelah sisi alasnya diperbesar adalah $180\ cm^3$.
D. Simulasi GeoGebra
Untuk lebih memahami materi prisma, terutama pada bagian luas permukaan dan volume prisma silakan lakukan simulasi menggunakan GeoGebra berikut ini. Geser slider Alas segita, tinggi segitiga, ataupun tinggi prisma ke kanan atau ke kiri.
E. Evaluasi
Setelah mempelajari materi prisma ini, silakan kerjakan soal evaluasi berikut ini.
1. Sebuah prisma segitiga mempunyai alas berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi siku-sikunya $7$ cm, dan $24$ cm. Jika tinggi prisma $24$ cm. Tentukan luas permukaan prisma tersebut.
2. Perhatikan gambar berikut.
 |  |
 |
|
Tentukan volume dari setiap prisma tersebut.
Demikian materi tentang prisma ini. Jika ada saran, kritik, ataupun sanggahan, silakan sampaikan di kolom komentar. Semoga bermanfaat, terima kasih 😊🙏.
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
Posting Komentar
image quote pre code