Lingkaran

A. Kompetensi Dasar
3.7 Menjelaskan sudut pusat, sudut keliling, panjang busur, dan luas juring lingkaran serta hubungannya.
4.7 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sudut pusat, sudut keliling, panjang busur, dan luas juring lingkaran serta hubungannya.

B. Tujuan Pembelajaran
  1. Setelah mempelajari materi lingkaran, diharapkan dapat :
  2. Menurunkan rumus untuk menentukan keliling lingkaran menggunakan masalah kontekstual.
  3. Menurunkan rumus untuk menentukan luas daerah  lingkaran menggunakan masalah kontekstual.
  4. Menentukan hubungan sudut pusat dengan panjang busur  lingkaran.
  5. Menentukan hubungan sudut pusat dengan luas juring  lingkaran.
  6. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan keliling lingkaran dan luas daerah lingkaran.
  7. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sudut pusat, sudut keliling, panjang busur, dan luas juring lingkaran serta hubungannya.

C. Materi
1. Pengertian Lingkaran
Perhatikan gambar berikut.


Gambar (a) menunjukkan kurva tertutup sederhana yang khusus, yaitu tiap titik pada kurva tersebut mempunyai jarak yang sama dari suatu titik yang disebut pusat lingkaran. Bangun yang demikian disebut lingkaran. Jarak titik pada lingkaran dengan pusat disebut jari-jari atau radius lingkaran. 
Gambar (b) menunjukkan daerah yang dibatasi oleh lingkaran. Daerah yang demikian disebut bidang lingkaran.

2. Unsur-unsur lingkaran
Perhatikan gambar lingkaran berikut.
Unsur-unsur lingkarannya adalah:
1. Pusat lingkaran  
Pusat lingkaran adalah titik tertentu yang mempunyai jarak yang sama terhadap semua titik pada lingkaran, yaitu titik $O$.
2. Jari-jari lingkaran
Jari-jari lingkaran adalah jarak dari pusat lingkaran ke suatu titik pada lingkaran, misalnya $\overline {OA}$, $\overline {OB}$, dan $\overline {OC}$.
3. Diameter
Diameter lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran yang melalui pusat lingkaran, misalnya $\overline {AB}$.
4. Busur lingkaran
Busur lingkaran adalah garis lengkung pada lingkaran, misalnya busur AC, busur AB, dan busur BC. Busur $AB$ ditulis \(\widehat{AB}\).
5. Tali busur
Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran, misalnya $\overline {AC}$.
6. Juring lingkaran
Juring lingkaran adalah daerah lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur lingkaran dan dua jari-jari yang melalui ujung-ujung busur tersebut, misalnya juring $BOC$.
7. Tembereng
Tembereng adalah daerah lingkaran yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur lingkaran, misalnya tembereng $ADC$.
8. Apotema
Apotema adalah garis hubung terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran, misalnya $\overline {OE}$.

3. Pendekatan nilai phi
Jika terdapat suatu lingkaran seperti tampak pada gambar berikut, maka keliling lingkaran adalah panjang lintasan yang ditempuh sepanjang lingkaran dari suatu titik A kembali ke titik A lagi. 
Lakukan kegiatan berikut untuk mendapatkan nilai perbandingan keliling dan diameter lingkaran.
  1. Temukan beberapa benda di sekitarmu yang berbentuk lingkaran seperti uang logam, roda sepeda, kaleng susu.
  2. Ukur panjang keliling dan lingkaran dan diameter lingkaran menggunakan tali dan penggaris.
  3. Buat tabel seperti di bawah ini dan catat hasil pengukuranmu.
No Nama Benda Keliling Diameter Keliling / Diameter
1 Uang logam ... ... ...
2 Roda sepeda ... ... ...
3 Kaleng susu ... ... ...

Jika perhitungan kalian benar, kalian akan mendapatkan bahwa nilai perbandingan keliling dan diameter itu akan tetap (sama) untuk setiap lingkaran. Nilai itu disebut phi $(\pi)$. Nilai $\pi$ berada antara $3,141$ dan $1,142$. karena nilai $\pi$ tdak dapat dinyatakan secara tepat dalam bentuk pecahan biasa atau desimal maka sering digunakan nilai pendekatannya yaitu $3,14$ atau $\frac{22}{7}$.

4. Keliling lingkaran
Dari percobaan yang telah dilakukan, perhatikan nilai perbandingan antara keliling $(K)$ dan diameter $(d)$. Hasil yang diperoleh adalah suatu nilai tetap yaitu $\pi$, maka dapat dirumuskan :
$$\pi=\frac{K}{d}\Leftrightarrow K=\pi d$$
Karena $d = 2r$ maka $K = \pi \times 2r = 2\pi r$

Untuk setiap lingkaran berlaku :
$K = \pi d$ atau $K = 2\pi r$
dengan :
$K$ = keliling lingkaran
$d$ = diameter
$r$ = jari-jari

Nilai $\pi \approx \frac {22}{7}$ digunakan jika jari-jari atau diameter lingkaran adalah bilangan kelipatan $7$, sedangkan nilai $\pi \approx 3,14$ untuk yang lain.
Contoh :
1. Hitunglah keliling lingkaran jika jari-jarinya $21$ cm.
2. Sebuah roda sepeda motor mempunyai jari-jari $28$ cm.
a. Hitunglah keliling roda tersebut.
b. Berapa jarak lintasan yang ditempuh jika roda berputar sebanyak $100$ kali.
3. Sebuah taman berbentuk lingkaran memiliki diameter $105$ meter. Jika setiap jarak $6$ meter pada pinggir taman ditanami pohon palm, maka banyak pohon palm yang diperlukan adalah...
4. Perhatikan gambar berikut.


Berapakah keliling daerah yang diarsir pada gambar di atas.
Penyelesaian :
1. $K = 2\pi r = 2\times \frac {22}{7}\times 21 = 132$
Jadi, keliling lingkaran adalah $132$ cm.
2. a. $K = 2\pi r = 2\times \frac {22}{7}\times 28 = 176$
Jadi, keliling roda adalah $176$ cm.
    b. Jarak yang ditempuh sepeda motor adalah : ${\text{176 cm}}\times 100 = {\text{17.600 cm}} = {\text{176 m}}$.
3. Keliling taman adalah :
$\begin{aligned} \text {Keliling taman}&=\pi d\\ &=\frac{22}{7}\times 105\\ &=330\\ \end{aligned}$
Banyak pohon yang diperlukan adalah : $\begin{aligned} \text {Banyak pohon}&=\frac{\text{Keliling taman}}{\text{Jarak pohon}}\\ &=\frac{330}{6}\\ &=55\\ \end{aligned}$
Jadi, banyaknya pohon yang diperlukan adalah $55$ batang.
4. Gambar pertama
Keliling daerah yang diarsir adalah :
$\begin{aligned} K&=\frac{1}{2}\ K \odot + \frac{1}{4}\ K \odot +\frac{1}{4}\ K \odot +2r\\ &=\frac{1}{2}\ K \odot + \frac{1}{2}\ K \odot + 2r\\ &=K\odot+2r\\ &=2\pi r + 2r\\ &=2\times 3,14\times 10+2\times 10\\ &=3,14\times 20+20\\ &=82,8 \end{aligned}$
Jadi, keliling daerah yang diarsir adalah $82,8$ cm.
Gambar kedua
Daerah yang darsir dibatasi oleh $1$ busur setengah lingkaran dan $2$ busur setengah lingkaran kecil. Keliling daerah yang diarsir adalah :
$\begin{aligned} K&=\frac{1}{2}\ K \odot \text {besar}+ K \odot \text{kecil}\\ &=\frac{1}{2}\ K\odot \text {besar} + \frac{1}{2}\ K \odot \text {besar}\\ &=K\odot\text {besar}\\ &=\frac {22}{7}\times 21\\ &=66 \end{aligned}$
Jadi, keliling daerah yang diarsir adalah $66$ cm.

5. Luas lingkaran
Perhatikan gambar berikut.
Daerah yang diarsir disebut bidang lingkaran. Luas bidang lingkaran selanjutnya disebut luas lingkaran. Jadi, luas lingkaran adalah luas daerah yang dibatasi oleh keliling lingkaran. Untuk menentukan rumus luas lingkaran dapat dilakukan dengan cara berikut :
  1. Buatlah sebuah lingkaran.
  2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi dua bagian sama besar, kemudian berilah warna yang berbeda.
  3. Bagilah lingkaran tersebut menjadi 12 daerah juring lingkaran.
  4. Bagilah salah satu juring menjadi dua sama besar, yaitu a dan b seperti tampak pada gambar (a).
  5. Guntinglah lingkaran tersebut sesuai dengan juring-juring yang terjadi.
  6. Susunlah potongan-potongan juring secara berdampingan sehingga terbentuk bangun yang menyerupai persegi panjang. Lihat gambar (b) di atas.
Jika pemotongan lingkaran dengan cara di atas dilanjutkan terus menerus, akan didapatkan bangun yang makin mendekati bentuk persegi panjang dengan panjang = $\frac{1}{2}$ keliling lingkaran dan lebar = jari-jari lingkaran. Dari kegiatan di atas, diperoleh luas lingkaran $(L)$ sama dengan luas persegi panjang yang terjadi.
$\begin{aligned} L&=p\times l\\ &=\frac{1}{2}\ {\text {keliling lingkaran}}\times r\\ &=\frac{1}{2}\times 2\pi r\times r\\ &=\pi r^2 \end{aligned}$
Bila dinyatakan dalam diameter maka diperoleh : $\begin{aligned} L&=\pi r^2\\ &=\pi \left ( \frac{1}{2}d \right )^2\\ &=\frac{1}{4} \pi d^2 \end{aligned}$
Ingat bahwa $d = 2r$

Rumus luas lingkaran adalah :
$L = \pi r^2$ atau $L = \frac{1}{4}\pi d^2$
Keterangan :
$L$ = luas lingkaran
$r$ = jari-jari
$d$ = diameter

Contoh :
1. Hitunglah luas lingkaran jika diketahui :
a. jari-jarinya $10$ cm.
b. diameternya $7$ cm.
2. Tentukan jari-jari lingkaran jika diketahui luasnya $154\text{cm}^2$
3. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar berikut.


Penyelesaian :
1. a. $\begin{aligned}L&=\pi r\\ &=3,14\times 10^2\\ &=3,14\times 100\\ &=314 \end{aligned}$ Jadi, luas lingkarannya adalah $314\ cm^2$. 
b. $\begin{aligned} L&=\frac{1}{4}\pi d^2\\ &=\frac{1}{4}\times \frac{22}{7}\times 7^2\\ &=\frac{1}{4}\times \frac{22}{7}\times 7\times 7\\ &=\frac{1}{4}\times 22\times 7\\ &=38,5 \end{aligned}$ 
Jadi, luas lingkarannya adalah $38,5\ cm^2$. 
2. Jari-jari lingkaran tersebut adalah : 
$\begin{aligned} L&=\pi r^2\\ 154&=\frac{22}{7}\times r^2\\ r^2&=\frac{154}{\dfrac{22}{7}}\\ r^2&=49\\ r&=\sqrt{49}\\ r&=7 \end{aligned}$ 
Jadi, jari-jari lingkaran adalah $7$ cm. 
3. a. Gambar pertama
 * Luas persegi besar. 
$\begin{aligned} L&=s\times s\\ &=14\times 14\\ &=196 \end{aligned}$ Luas persegi besar adalah $196\ cm^2$. 
* Luas daerah diarsir. 
$\begin{aligned} L&=L_{\text {persegi kecil}} + 2 L\odot\\ &=s\times s\ +\ 2\pi r^2\\ &=7\times 7\ +\ 2\times \frac{22}{7}\ \times \left ( \frac{7}{2}\right )^2\\ &=49\ +\ 2\times \frac{22}{7}\ \times \frac{7}{2}\times \frac{7}{2}\\ &=49\ +\ 77\\ &=126 \end{aligned}$
Luas daerah yang diarsir adalah $126\ cm^2$. 
* Luas daerah yang tidak diarsir adalah : 
$\begin{aligned} L&=L_{\text {persegibesar}} - L_{\text {arsir}}\\ &=196-126\\ &=70 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah yang tidak diarsir adalah $70\ cm^2$.
b. Gambar kedua 
$\begin{aligned} L&=L_{\text {persegi}} -\frac{1}{4}\times \text {luas lingkaran} \\ &=s\times s\ -\ \frac{1}{4}\pi r^2\\ &=7\times 7\ -\ \frac{1}{4}\times \frac {22}{7}\times 7^2\\ &=49\ -\ \frac{1}{4}\times 154\\ &=49\ -\ 38,5\\ &=10,5 \end{aligned}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $10,5\ cm^2$
c. Gambar ketiga 
Buatlah menjadi daerah tembereng terlebih dulu. 
$\begin{aligned} L&=\frac{1}{4}\times \text {luas lingkaran}\ -\ \text{luas segitiga}\\ &=\frac{1}{4}\pi d^2\ -\ \frac{1}{2}\ a\times t\\ &=\frac{1}{4}\times \frac{22}{7}\times 14^2\ -\ \frac{14\times 14}{2}\\ &=154\ -\ 98\\ &=56 \end{aligned}$
Luas sebuah tembereng adalah $56\ cm^2$.
Luas daerah yang diarsir seluruhnya adalah : $\begin{aligned} L_{\text {total}}&=2\ \times\ L_{\text{tembereng}}\\ &=2\ \times\ 56\ {\text{cm}^2}\\ &=112\ {\text{cm}^2} \end{aligned}$
Jadi, luas daerah yang diarsir seluruhnya adalah $112\ cm^2$.

6. Ilusi Optik Lingkaran
Berikut ini adalah gambar ilusi optik lingkaran yang sebelumnya digambar menggunakan $\LaTeX$ di situs www.silagebra.com.
ilusi optik lingkaran di latex
7. Simulasi GeoGebra
Dibawah ini diberikan simulasi bagian-bagian lingkaran menggunakan GeoGebra. Silakan dicheck/uncheck kotak bagian-bagian lingkaran yang tersedia di dalamnya.


8. Simulasi keliling dan luas lingkaran
Silakan geser slider jari-jari ke kanan atu kiri dan check/uncheck kotak keliling dan luas lingkaran.



9. Evaluasi
Setelah mempelajari materi lingkaran, silakan kerjakan soal evaluasi berikut untuk mengetahui pemahaman terhadap materi tersebut.
Cara mengerjakan evaluasi :
1. Berdo'a terlebih dulu sebelum mengerjakan soal.
2. Tulis nama dan kelas pada tempat yang disediakan.
3. Pilih dan klik jawaban yang benar pada opsi A, B, C, atau D.
4. Setelah selesai mengerjakan gulir ke bawah dan klik finish.
5. Selanjutnya klik Check my answers.
6. Screenshot nilai yang keluar dan kirim hasil screenshot ke guru kalian.
7. Jika nilai belum mencapai 70 agar mengulang mengerjakan soal tersebut, karena KKM adalah 70.

8. Selamat mengerjakan, sukses selalu.
Demikian materi lingkaran dan unsur-unsurnya, jika ada kritik, saran, ataupun sanggahan silakan tuliskan di kolom komentar. Semoga bermanfaat, terima kasih 😊🙏.

Mau donasi lewat mana?

Paypal
Bank Rakyat Indonesia - An. Aan Triono / Rek : 0357-01-132169-50-3
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi sedikit donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
https://blog.choipanwendy.com