Lingkaran
A. Kompetensi Dasar
3.7 Menjelaskan sudut pusat, sudut keliling, panjang busur, dan luas juring
lingkaran serta hubungannya.
4.7 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sudut pusat, sudut keliling,
panjang busur, dan luas juring lingkaran serta hubungannya.
B. Tujuan Pembelajaran
- Setelah mempelajari materi lingkaran, diharapkan dapat :
- Menurunkan rumus untuk menentukan keliling lingkaran menggunakan masalah kontekstual.
- Menurunkan rumus untuk menentukan luas daerah lingkaran menggunakan masalah kontekstual.
- Menentukan hubungan sudut pusat dengan panjang busur lingkaran.
- Menentukan hubungan sudut pusat dengan luas juring lingkaran.
- Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan keliling lingkaran dan luas daerah lingkaran.
- Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sudut pusat, sudut keliling, panjang busur, dan luas juring lingkaran serta hubungannya.
C. Materi
1. Pengertian Lingkaran
Perhatikan gambar berikut.
Gambar (a) menunjukkan kurva
tertutup sederhana yang khusus, yaitu tiap titik pada kurva tersebut
mempunyai jarak yang sama dari suatu titik yang disebut pusat lingkaran.
Bangun yang demikian disebut lingkaran. Jarak titik pada lingkaran
dengan pusat disebut jari-jari atau radius lingkaran.
Gambar (b) menunjukkan daerah yang
dibatasi oleh lingkaran. Daerah yang demikian disebut
bidang lingkaran.
2. Unsur-unsur lingkaran
Perhatikan gambar lingkaran berikut.
Unsur-unsur lingkarannya adalah:
1. Pusat lingkaran
Pusat lingkaran adalah titik tertentu yang mempunyai jarak yang sama terhadap semua titik pada lingkaran, yaitu titik $O$.
1. Pusat lingkaran
Pusat lingkaran adalah titik tertentu yang mempunyai jarak yang sama terhadap semua titik pada lingkaran, yaitu titik $O$.
2. Jari-jari lingkaran
Jari-jari lingkaran adalah jarak dari pusat lingkaran ke suatu titik
pada lingkaran, misalnya $\overline {OA}$, $\overline {OB}$, dan $\overline
{OC}$.
3. Diameter
3. Diameter
Diameter lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik
pada lingkaran yang melalui pusat lingkaran, misalnya $\overline
{AB}$.
4. Busur lingkaran
Busur lingkaran adalah garis lengkung pada lingkaran, misalnya busur
AC, busur AB, dan busur BC. Busur $AB$ ditulis
\(\widehat{AB}\).
5. Tali busur
Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada
lingkaran, misalnya $\overline {AC}$.
6. Juring lingkaran
Juring lingkaran adalah daerah lingkaran yang dibatasi oleh sebuah
busur lingkaran dan dua jari-jari yang melalui ujung-ujung busur tersebut,
misalnya juring $BOC$.
7. Tembereng
Tembereng adalah daerah lingkaran yang dibatasi oleh sebuah tali
busur dan busur lingkaran, misalnya tembereng $ADC$.
8. Apotema
Apotema adalah garis hubung terpendek antara tali busur dan pusat
lingkaran, misalnya $\overline {OE}$.
3. Pendekatan nilai phi
Jika terdapat suatu lingkaran seperti tampak pada gambar berikut, maka
keliling lingkaran adalah panjang lintasan yang ditempuh sepanjang
lingkaran dari suatu titik A kembali ke titik
A lagi.
Lakukan kegiatan berikut untuk mendapatkan nilai perbandingan keliling dan
diameter lingkaran.
- Temukan beberapa benda di sekitarmu yang berbentuk lingkaran seperti uang logam, roda sepeda, kaleng susu.
- Ukur panjang keliling dan lingkaran dan diameter lingkaran menggunakan tali dan penggaris.
- Buat tabel seperti di bawah ini dan catat hasil pengukuranmu.
| No | Nama Benda | Keliling | Diameter | Keliling / Diameter |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Uang logam | ... | ... | ... |
| 2 | Roda sepeda | ... | ... | ... |
| 3 | Kaleng susu | ... | ... | ... |
Jika perhitungan kalian benar, kalian akan mendapatkan bahwa nilai
perbandingan keliling dan diameter itu akan tetap (sama)
untuk setiap lingkaran. Nilai itu disebut phi $(\pi)$. Nilai $\pi$
berada antara $3,141$ dan $1,142$. karena nilai $\pi$ tdak dapat dinyatakan
secara tepat dalam bentuk pecahan biasa atau desimal maka sering digunakan
nilai pendekatannya yaitu $3,14$ atau $\frac{22}{7}$.
4. Keliling lingkaran
Dari percobaan yang telah dilakukan, perhatikan nilai perbandingan antara
keliling $(K)$ dan diameter $(d)$. Hasil yang diperoleh adalah suatu nilai
tetap yaitu $\pi$, maka dapat dirumuskan :
$$\pi=\frac{K}{d}\Leftrightarrow K=\pi d$$
Karena $d = 2r$ maka $K = \pi \times 2r = 2\pi r$
Untuk setiap lingkaran berlaku :
$K = \pi d$ atau $K = 2\pi r$
dengan :$K$ = keliling lingkaran
$d$ = diameter
$r$ = jari-jari
Nilai $\pi \approx \frac {22}{7}$ digunakan jika jari-jari atau diameter
lingkaran adalah bilangan kelipatan $7$, sedangkan nilai $\pi \approx
3,14$ untuk yang lain.
Contoh :
1. Hitunglah keliling lingkaran jika jari-jarinya $21$ cm.
2. Sebuah roda sepeda motor mempunyai jari-jari $28$ cm.
a. Hitunglah keliling roda tersebut.
b. Berapa jarak lintasan yang ditempuh jika roda berputar sebanyak
$100$ kali.
3. Sebuah taman berbentuk lingkaran memiliki diameter $105$ meter.
Jika setiap jarak $6$ meter pada pinggir taman ditanami pohon palm,
maka banyak pohon palm yang diperlukan adalah...
4. Perhatikan gambar berikut.
|
|
Penyelesaian :
1. $K = 2\pi r = 2\times \frac {22}{7}\times 21 = 132$
Jadi, keliling lingkaran adalah $132$ cm.
2. a. $K = 2\pi r = 2\times \frac {22}{7}\times 28 = 176$
Jadi, keliling roda adalah $176$ cm.
b. Jarak yang ditempuh sepeda motor adalah : ${\text{176
cm}}\times 100 = {\text{17.600 cm}} = {\text{176 m}}$.
3. Keliling taman adalah :
$\begin{aligned}
\text {Keliling taman}&=\pi d\\
&=\frac{22}{7}\times 105\\
&=330\\
\end{aligned}$
Banyak pohon yang diperlukan adalah : $\begin{aligned} \text {Banyak pohon}&=\frac{\text{Keliling taman}}{\text{Jarak pohon}}\\ &=\frac{330}{6}\\ &=55\\ \end{aligned}$
Banyak pohon yang diperlukan adalah : $\begin{aligned} \text {Banyak pohon}&=\frac{\text{Keliling taman}}{\text{Jarak pohon}}\\ &=\frac{330}{6}\\ &=55\\ \end{aligned}$
Jadi, banyaknya pohon yang diperlukan adalah $55$ batang.
4. Gambar pertama
Keliling daerah yang diarsir adalah :
$\begin{aligned}
K&=\frac{1}{2}\ K \odot + \frac{1}{4}\ K \odot +\frac{1}{4}\ K \odot +2r\\
&=\frac{1}{2}\ K \odot + \frac{1}{2}\ K \odot + 2r\\
&=K\odot+2r\\
&=2\pi r + 2r\\
&=2\times 3,14\times 10+2\times 10\\
&=3,14\times 20+20\\
&=82,8
\end{aligned}$
Jadi, keliling daerah yang diarsir adalah $82,8$ cm.
Gambar kedua
Daerah yang darsir dibatasi oleh $1$ busur setengah lingkaran dan $2$
busur setengah lingkaran kecil. Keliling daerah yang diarsir adalah :
$\begin{aligned}
K&=\frac{1}{2}\ K \odot \text {besar}+ K \odot \text{kecil}\\
&=\frac{1}{2}\ K\odot \text {besar} + \frac{1}{2}\ K \odot \text {besar}\\
&=K\odot\text {besar}\\
&=\frac {22}{7}\times 21\\
&=66
\end{aligned}$
Jadi, keliling daerah yang diarsir adalah $66$ cm.
5. Luas lingkaran
Perhatikan gambar berikut.
Daerah yang diarsir disebut bidang lingkaran. Luas bidang lingkaran
selanjutnya disebut luas lingkaran. Jadi, luas lingkaran adalah luas
daerah yang dibatasi oleh keliling lingkaran. Untuk menentukan rumus luas lingkaran dapat dilakukan dengan cara berikut
:
- Buatlah sebuah lingkaran.
- Bagilah lingkaran tersebut menjadi dua bagian sama besar, kemudian berilah warna yang berbeda.
- Bagilah lingkaran tersebut menjadi 12 daerah juring lingkaran.
-
Bagilah salah satu juring menjadi dua sama besar, yaitu a dan b
seperti tampak pada gambar (a).
- Guntinglah lingkaran tersebut sesuai dengan juring-juring yang terjadi.
- Susunlah potongan-potongan juring secara berdampingan sehingga terbentuk bangun yang menyerupai persegi panjang. Lihat gambar (b) di atas.
Jika pemotongan lingkaran dengan cara di atas dilanjutkan terus menerus,
akan didapatkan bangun yang makin mendekati bentuk persegi panjang dengan
panjang = $\frac{1}{2}$ keliling lingkaran dan lebar = jari-jari
lingkaran. Dari kegiatan di atas, diperoleh luas lingkaran $(L)$ sama
dengan luas persegi panjang yang terjadi.
$\begin{aligned}
L&=p\times l\\
&=\frac{1}{2}\ {\text {keliling lingkaran}}\times r\\
&=\frac{1}{2}\times 2\pi r\times r\\
&=\pi r^2
\end{aligned}$
Bila dinyatakan dalam diameter maka diperoleh : $\begin{aligned} L&=\pi r^2\\ &=\pi \left ( \frac{1}{2}d \right )^2\\ &=\frac{1}{4} \pi d^2 \end{aligned}$
Bila dinyatakan dalam diameter maka diperoleh : $\begin{aligned} L&=\pi r^2\\ &=\pi \left ( \frac{1}{2}d \right )^2\\ &=\frac{1}{4} \pi d^2 \end{aligned}$
Ingat bahwa $d = 2r$
Rumus luas lingkaran adalah :
$L = \pi r^2$ atau $L = \frac{1}{4}\pi d^2$
Keterangan :
$L$ = luas lingkaran
$r$ = jari-jari
$d$ = diameter
$L$ = luas lingkaran
$r$ = jari-jari
$d$ = diameter
Contoh :
1. Hitunglah luas lingkaran jika diketahui :
a. jari-jarinya $10$ cm.
b. diameternya $7$ cm.
2. Tentukan jari-jari lingkaran jika diketahui luasnya $154\text{cm}^2$
3. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar berikut.
|
|
|
1. a.
$\begin{aligned}L&=\pi r\\
&=3,14\times 10^2\\
&=3,14\times 100\\
&=314
\end{aligned}$
Jadi, luas lingkarannya adalah $314\ cm^2$.
b.
$\begin{aligned}
L&=\frac{1}{4}\pi d^2\\
&=\frac{1}{4}\times \frac{22}{7}\times 7^2\\
&=\frac{1}{4}\times \frac{22}{7}\times 7\times 7\\
&=\frac{1}{4}\times 22\times 7\\
&=38,5
\end{aligned}$
Jadi, luas lingkarannya adalah $38,5\ cm^2$.
2. Jari-jari lingkaran tersebut adalah :
$\begin{aligned}
L&=\pi r^2\\
154&=\frac{22}{7}\times r^2\\
r^2&=\frac{154}{\dfrac{22}{7}}\\
r^2&=49\\
r&=\sqrt{49}\\
r&=7
\end{aligned}$
Jadi, jari-jari lingkaran adalah $7$ cm.
3. a. Gambar pertama
* Luas persegi besar.
$\begin{aligned}
L&=s\times s\\
&=14\times 14\\
&=196
\end{aligned}$
Luas persegi besar adalah $196\ cm^2$.
* Luas daerah diarsir.
$\begin{aligned}
L&=L_{\text {persegi kecil}} + 2 L\odot\\
&=s\times s\ +\ 2\pi r^2\\
&=7\times 7\ +\ 2\times \frac{22}{7}\ \times \left ( \frac{7}{2}\right )^2\\
&=49\ +\ 2\times \frac{22}{7}\ \times \frac{7}{2}\times \frac{7}{2}\\
&=49\ +\ 77\\
&=126
\end{aligned}$
Luas daerah yang diarsir adalah $126\ cm^2$.
Luas daerah yang diarsir adalah $126\ cm^2$.
* Luas daerah yang tidak diarsir adalah :
$\begin{aligned}
L&=L_{\text {persegibesar}} - L_{\text {arsir}}\\
&=196-126\\
&=70
\end{aligned}$
Jadi, luas daerah yang tidak diarsir adalah $70\ cm^2$.
b. Gambar kedua
b. Gambar kedua
$\begin{aligned}
L&=L_{\text {persegi}} -\frac{1}{4}\times \text {luas lingkaran} \\
&=s\times s\ -\ \frac{1}{4}\pi r^2\\
&=7\times 7\ -\ \frac{1}{4}\times \frac {22}{7}\times 7^2\\
&=49\ -\ \frac{1}{4}\times 154\\
&=49\ -\ 38,5\\
&=10,5
\end{aligned}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $10,5\ cm^2$
c. Gambar ketiga
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $10,5\ cm^2$
c. Gambar ketiga
Buatlah menjadi daerah tembereng terlebih dulu.
$\begin{aligned}
L&=\frac{1}{4}\times \text {luas lingkaran}\ -\ \text{luas segitiga}\\
&=\frac{1}{4}\pi d^2\ -\ \frac{1}{2}\ a\times t\\
&=\frac{1}{4}\times \frac{22}{7}\times 14^2\ -\ \frac{14\times 14}{2}\\
&=154\ -\ 98\\
&=56
\end{aligned}$
Luas sebuah tembereng adalah $56\ cm^2$.
Luas daerah yang diarsir seluruhnya adalah : $\begin{aligned} L_{\text {total}}&=2\ \times\ L_{\text{tembereng}}\\ &=2\ \times\ 56\ {\text{cm}^2}\\ &=112\ {\text{cm}^2} \end{aligned}$
Luas sebuah tembereng adalah $56\ cm^2$.
Luas daerah yang diarsir seluruhnya adalah : $\begin{aligned} L_{\text {total}}&=2\ \times\ L_{\text{tembereng}}\\ &=2\ \times\ 56\ {\text{cm}^2}\\ &=112\ {\text{cm}^2} \end{aligned}$
Jadi, luas daerah yang diarsir seluruhnya adalah $112\ cm^2$.
6. Ilusi Optik Lingkaran
Berikut ini adalah gambar ilusi optik lingkaran yang sebelumnya digambar menggunakan $\LaTeX$ di situs www.silagebra.com.
7. Simulasi GeoGebra
Dibawah ini diberikan simulasi bagian-bagian lingkaran menggunakan
GeoGebra. Silakan dicheck/uncheck kotak bagian-bagian lingkaran yang
tersedia di dalamnya.
8. Simulasi keliling dan luas lingkaran
Silakan geser slider jari-jari ke kanan atu kiri dan check/uncheck kotak
keliling dan luas lingkaran.
9. Evaluasi
Setelah mempelajari materi lingkaran, silakan kerjakan soal evaluasi
berikut untuk mengetahui pemahaman terhadap materi tersebut.
Cara mengerjakan evaluasi :
1. Berdo'a terlebih dulu sebelum mengerjakan soal.
2. Tulis nama dan kelas pada tempat yang disediakan.
3. Pilih dan klik jawaban yang benar pada opsi A, B, C, atau D.
4. Setelah selesai mengerjakan gulir ke bawah dan klik finish.
5. Selanjutnya klik Check my answers.
6. Screenshot nilai yang keluar dan kirim hasil screenshot ke guru kalian.
7. Jika nilai belum mencapai 70 agar mengulang mengerjakan soal tersebut, karena KKM adalah 70.
1. Berdo'a terlebih dulu sebelum mengerjakan soal.
2. Tulis nama dan kelas pada tempat yang disediakan.
3. Pilih dan klik jawaban yang benar pada opsi A, B, C, atau D.
4. Setelah selesai mengerjakan gulir ke bawah dan klik finish.
5. Selanjutnya klik Check my answers.
6. Screenshot nilai yang keluar dan kirim hasil screenshot ke guru kalian.
7. Jika nilai belum mencapai 70 agar mengulang mengerjakan soal tersebut, karena KKM adalah 70.
8. Selamat mengerjakan, sukses selalu.
Mathematics Interactive Worksheet, an interactive worksheet by
aantriono
liveworksheets.com
liveworksheets.com
Demikian materi lingkaran dan unsur-unsurnya, jika ada kritik, saran,
ataupun sanggahan silakan tuliskan di kolom komentar. Semoga bermanfaat,
terima kasih 😊🙏.
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
1 komentar
image quote pre code