Beranda
MATERI VIII

PELUANG

9 minute read
Dasar-dasar Peluang
Dalam kehidupan sehari-sehari, kamu pasti sering mendengar pernyataan-pernyataan seperti berikut.
  • Nanti sore mungkin akan turun hujan.
  • Berdasarkan hasil perolehan suara, Joni berpeluang besar untuk menjadi ketua kelas.
  • Peluang Indonesia untuk mengalahkan Brazil dalam pertandingan sepakbola sangat kecil.
Besar peluang ketiga pernyataan di atas dinyatakan dengan mungkin, berpeluang besar , dan berpeluang kecil. Di dalam matematika, besar peluang suatu kejadian/pernyataan dapat ditentukan secara eksak. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

Kejadian Acak

Coba kamu lemparkan sekeping uang logam. Dapatkah kamu memastikan sisi mana yang akan muncul? Tentu saja tidak, bukan? Kamu hanya mengetahui sisi yang mungkin muncul adalah salah satu dari sisi angka atau gambar. Pelemparan sekeping uang logam merupakan salah satu contoh kejadian acak. Untuk lebih memahami pengertian kejadian acak, lakukanlah kegiatan berikut.
  1. Siapkan sebuah dadu, sebuah wadah, lima bola merah, dan lima bola kuning.
  2. Lemparkan dadu tersebut. Dapatkah kamu menentukan muka dadu yang akan muncul?
  3. Masukan lima bola merah dan lima bola kuning ke dalam wadah. Aduklah bola-bola tersebut. Kemudian, tutup matamu dan ambillah satu bola. Dapatkah kamu menentukan warna bola yang terambil?
  4. Ulangi percobaan nomor 3. Kali ini, lakukan tanpa menutup mata. Dapatkah kamu menentukan warna bola yang terambil?

Kegiatan 1

Pada percobaan nomor 1, kamu tentu tidak tahu muka dadu mana yang akan muncul. Kamu hanya mengetahui bahwa muka dadu yang akan muncul adalah yang bertitik satu, dua, tiga, empat, lima, atau enam. Kejadian muka dadu mana yang akan muncul tidak dapat ditentukan sebelumnya. Inilah yang disebut kejadian acak.

Titik Sampel dan Ruang Sampel

Pada pelemparan sekeping uang logam, sisi yang mungkin muncul adalah sisi angka (A)(A) atau sisi gambar (G)(G). Jika sisi yang mungkin muncul ini dinyatakan dengan himpunan, misalnya SS, menjadi SS = {A,GA,G}. Kumpulan atau himpunan semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan disebut ruang sampel, dilambangkan dengan SS. Adapun anggota-anggota dari S disebut titik sampel. Banyak anggota (titik sampel) suatu ruang sampel dinyatakan dengan n(S)n(S). Cara menentukan ruang sampel dari titik sampel ada tiga, yaitu dengan mendaftar, tabel, dan diagram pohon.

a. Menentukan Ruang Sampel dengan Mendaftar

Misalkan, pada pelemparan dua keping uang logam sekaligus, sisi yang muncul adalah angka (A)(A) pada uang logam pertama dan gambar (G)(G) pada uang logam kedua, ditulis AGAG. Kejadian lain yang mungkin muncul pada pelemparan kedua uang logam tersebut adalah AA,GAAA, GA, dan GG.GG. Jika ruang sampelnya dituliskan dengan cara mendaftar, hasilnya adalah SS = {AA,AG,GA,GGAA, AG, GA, GG} dengan n(S)=4n (S) = 4.

b. Menentukan Ruang Sampel dengan Tabel

Selain dengan cara mendaftar, ruang sampel dapat ditentukan dengan cara membuat tabel. Perhatikan kembali pelemparan dua keping uang logam pada bagian a. Untuk menentukan ruang sampel dengan tabel, buatlah tabel dengan jumlah baris dan kolom yang diperlukan. Untuk percobaan pelemparan dua uang logam sekaligus, diperlukan tabel yang terdiri atas tiga kolom dan tiga baris. Isi kolom pertama dengan hasil yang mungkin muncul dari uang logam ke-1 dan isi baris kedua dengan hasil yang mungkin dari uang logam ke-2. Kemudian, lengkapi tabel yang kosong.
Tabel ruang sampel pelemparan dua logam adalah sebagai berikut.
A G
A AA AG
G GA GG
Jadi, ruang sampelnya adalah SS = {AA,AG,GA,GGAA, AG, GA, GG} dengan n(S)=4n(S) = 4.

c. Menentukan Ruang Sampel dengan Diagram Pohon

Cara lain yang digunakan untuk menentukan ruang sampel adalah dengan diagram pohon. Cara ini merupakan cara yang paling mudah. Berikut adalah diagram pohon untuk pelemparan dua uang logam sekaligus.
diagram pohon peluang
Jadi, ruang sampelnya adalah SS = {AA,AG,GA,GGAA, AG, GA, GG} dengan n(S)=4n(S) = 4.
Contoh soal.
Tentukan ruang sampel dari percobaan-percobaan berikut.
a. Melempar sebuah dadu.
b. Melempar tiga keping uang logam sekaligus.
c. Melempar dua buah dadu sekaligus.
Jawab:
a. Hasil yang mungkin muncul dari pelemparan sebuah dadu adalah muka dadu bertitik 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Jadi, ruang sampelnya adalah SS = {1,2,3,4,5,61, 2, 3, 4, 5, 6}.
b. Untuk mempermudah penentuan ruang sampel pelemparan tiga keping uang logam sekaligus, digunakan diagram pohon.
diagram pohon peluang
Jadi, ruang sampelnya adalah SS = {AAA,AAG,AGA,AGG,GAA,GAG,GGA,GGGAAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}.
c. Untuk mempermudah penentuan ruang sampel pelemparan dua buah dadu
sekaligus, digunakan tabel.
tabel peluang dua dadu

Jadi, ruang sampelnya adalah ={(1,1),(1,2),(1,3),...(6,6)(1,1),(1,2),(1,3),...(6,6)}.

Perhitungan Peluang

a. Pengertian Kejadian

Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, ruang sampelnya adalah SS = {1,2,3,4,5,61, 2, 3, 4, 5, 6}, sedangkan titik-titik sampel percobaan tersebut adalah 1,2,3,4,5,61, 2, 3, 4, 5, 6. Adapun sebarang himpunan bagian dari ruang sampel disebut kejadian, biasanya dilambangkan dengan KK. Misalnya, KK = {2,4,62, 4, 6} adalah kejadian munculnya muka dadu bertitik genap dengan n(K)=3n(K) = 3.

b. Perhitungan Peluang Suatu Kejadian dengan Frekuensi Relatif

Frekuensi relatif adalah perbandingan banyaknya kejadian yang diamati dengan banyaknya percobaan. Frekuensi relatif dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :
Frekuensi relatif=Banyak kejadian KBanyak percobaan\begin{aligned}\text{Frekuensi relatif}=\frac{\text{Banyak kejadian K}}{\text{Banyak percobaan}}\end{aligned}
Ambillah sekeping uang logam, kemudian lemparkan sebanyak 3030 kali. Misalkan, hasil yang diperoleh adalah muncul sisi gambar sebanyak 1313 kali. Perbandingan banyak kejadian muncul sisi gambar dengan banyak pelemparan adalah 1330\dfrac{13}{30}. Nilai inilah yang disebut frekuensi relatif.
Contoh soal.
Rino melempar dadu sebanyak 200200 kali. Hasilnya adalah muncul muka dadu sebagai
berikut.
a. Bertitik 11 sebanyak 2525 kali.
b. Bertitik 33 sebanyak 1717 kali.
c. Bertitik 66 sebanyak 5656 kali.
Tentukan frekuensi relatif kejadian munculnya mata dadu bertitik 1,31, 3, dan 66.
Jawab:
Banyaknya percobaan adalah 200200. 
a. Kejadian munculnya muka dadu bertitik 11 sebanyak 2525 kali.
 Frekuensi relatif=Banyak kejadian Banyak percobaan=25200=18=0,125\begin{aligned}\text{Frekuensi relatif}&=\frac{\text{Banyak kejadian }}{\text{Banyak percobaan}}\\&=\frac{25}{200}\\&=\frac{1}{8}\\&=0,125\end{aligned}
Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bertitik 11 adalah 0,1250,125.
b. Kejadian munculnya muka dadu bertitik 33 sebanyak 1717 kali.
 Frekuensi relatif=Banyak kejadian Banyak percobaan=17200=0,085\begin{aligned}\text{Frekuensi relatif}&=\frac{\text{Banyak kejadian }}{\text{Banyak percobaan}}\\&=\frac{17}{200}\\&=0,085\end{aligned}
Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bertitik 33 adalah 0,0850,085.
c. Kejadian munculnya muka dadu bertitik 66 sebanyak 5656 kali.
 Frekuensi relatif=Banyak kejadian Banyak percobaan=56200=0,28\begin{aligned}\text{Frekuensi relatif}&=\frac{\text{Banyak kejadian }}{\text{Banyak percobaan}}\\&=\frac{56}{200}\\&=0,28\end{aligned}
Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bertitik 66 adalah 0,280,28.

c. Perhitungan Peluang Suatu Kejadian dengan Rumus Peluang

Perhatikan kembali percobaan pelemparan sebuah dadu. Ruang sampelnya adalah SS = {1,2,3,4,5,61, 2, 3, 4, 5, 6} sehingga n(S)=6n (S) = 6. Misalkan, kejadian munculnya muka dadu yang bertitik prima dinyatakan dengan KK = {2,3,52, 3, 5} sehingga n(K)=3n(K) = 3. Peluang munculnya setiap titik sampel di dalam ruang sampel adalah sama, yaitu 16\dfrac{1}{6}.
Jadi, peluang munculnya muka dadu bertitik prima adalah :
 P(K)=16+16+16=36=12\begin{aligned}P(K)&=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\\&=\frac{3}{6}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}
Selain dengan cara tersebut, nilai P(K)P(K) juga dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.
S=1,2,3,4,5,6S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n(S)=6n(S) = 6.
K=2,3,5K = {2, 3, 5} maka n(K)=3n(K) = 3.
 P(K)=n(K)n(S)=36=12\begin{aligned}P(K)&=\frac{n(K)}{n(S)}\\&=\frac{3}{6}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}
Uraian tersebut menjelaskan bahwa jika setiap titik sampel anggota ruang sampel SS memiliki peluang yang sama maka peluang kejadian KK yang memiliki anggota sebanyak n(K)n(K) dinyatakan sebagai berikut.
 P(K)=n(K)n(S)dengan K⊂S\begin{aligned}P(K)&=\frac{n(K)}{n(S)}\\&\text{dengan}\ K\subset S\end{aligned}
Contoh soal.
Siti melemparkan sebuah dadu. Tentukanlah peluang munculnya mata dadu
a. bertitik 33,
b. bertitik lebih dari tiga,
c. bertitik 1,2,3,4,5,61, 2, 3, 4, 5, 6,
d. bertitik lebih dari 66.
Jawab:
Oleh karena ruang sampelnya adalah SS = {1,2,3,4,5,61, 2, 3, 4, 5, 6} maka n(S)=6n(S) = 6
a. Misalkan, AA adalah himpunan kejadian munculnya dadu bertitik 33 maka A=3A = {3} sehingga n(A)=1n(A) = 1.
 P(A)=n(A)n(S)=16\begin{aligned}P(A)&=\frac{n(A)}{n(S)}\\&=\frac{1}{6}\end{aligned}
Jadi, peluang munculnya mata dadu bertitik 33 adalah 16\dfrac{1}{6}
b. Misalkan, BB adalah himpunan kejadian munculnya dadu bertitik lebih dari 33 maka B=4,5,6B = {4, 5, 6} sehingga n(B)=3n(B) = 3.
 P(B)=n(B)n(S)=36=12\begin{aligned}P(B)&=\frac{n(B)}{n(S)}\\&=\frac{3}{6}\\&=\frac{1}{2}\\\end{aligned}
Jadi, peluang munculnya mata dadu bertitik lebih dari 33 adalah 12\dfrac{1}{2}.
c. Misalkan, CC adalah himpunan kejadian munculnya mata dadu bertitik 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5 dan 66 maka CC = {1,2,3,4,5,61, 2, 3, 4, 5, 6} sehingga n(C)=6n(C) = 6.
P(C)=n(C)n(S)=66=1\begin{aligned}P(C)&=\frac{n(C)}{n(S)}\\&=\frac{6}{6}\\&=1\end{aligned}
Jadi, peluang munculnya mata dadu bertitik 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5 dan 66 adalah 11.
d. Misalkan, DD adalah himpunan kejadian munculnya mata dadu bertitik lebih dari 66 maka D=D = { } sehingga n(D)=0n(D) = 0.
Jadi, peluang munculnya mata dadu bertitik lebih dari 66 adalah 00.
Nilai Peluang
Perhatikan nilai-nilai yang diperoleh pada contoh soal di atas.. Nilai-nilai peluang yang diperoleh berkisar antara 0 sampai dengan 1. Secara matematis, ditulis :
0≤P(K)≤10 ≤ P(K) ≤ 1
dengan P(K)P(K) adalah peluang suatu kejadian KK.
Jika nilai peluang suatu kejadian sama dengan nol, berarti kejadian tersebut mustahil atau tidak mungkin terjadi, misalnya peluang matahari terbit dari arah barat. Jika peluang suatu kejadian sama dengan 1, berarti kejadian tersebut pasti terjadi, misalnya peluang setiap manusia akan meninggal. Adapun jika peluang suatu kejadian bernilai antara 0 dan 1, berarti kejadian tersebut mungkin terjadi, misalnya peluang kamu untuk menjadi juara kelas. Jika LL merupakan kejadian komplemen dari kejadian KK maka peluang kejadian L adalah satu dikurangi peluang kejadian KK. Secara matematis, ditulis :
P(L)=1−P(K)P(L) = 1 − P(K) atau P(L)+P(K)=1P(L) + P(K) = 1
Misalnya, peluang Romi lulus ujian adalah 0,9 maka peluang Romi tidak lulus ujian adalah 1−0,9=0,11 − 0,9 = 0,1.
Contoh soal.
Lima belas kartu diberi nomor 1 sampai dengan 15. Kartu-kartu tersebut dikocok, kemudian diambil satu kartu secara acak (kartu yang telah diambil kemudian dikembalikan lagi). Tentukan peluang terambil kartu berangka :
a. genap,
b. bukan genap.
Jawab:
Ruang sampelnya adalah SS = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.
a. Misalkan, AA adalah himpunan kejadian terambil kartu berangka genap maka
A=2,4,6,8,10,12,14A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} sehingga n(A)=7n(A) = 7.
 P(A)=n(A)n(S)=715\begin{aligned}P(A)&=\frac{n(A)}{n(S)}\\&=\frac{7}{15}\\\end{aligned}
Jadi, peluang terambil kartu berangka genap adalah 715\dfrac{7}{15}
b. Oleh karena kartu yang sudah diambil dikembalikan lagi, ruang sampelnya tetap, yaitu S=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.
Misalkan, BB adalah himpunan kejadian terambil kartu berangka bukan genap maka B=1,3,5,7,9,11,13,15B={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} sehingga n(B)=8n(B) = 8.
 P(B)=n(B)n(S)=815\begin{aligned}P(B)&=\frac{n(B)}{n(S)}\\&=\frac{8}{15}\\\end{aligned}
Jadi, peluang terambil kartu berangka genap adalah 815\dfrac{8}{15}.
Selain dengan cara tersebut, peluang terambil kartu berangka bukan bilangan
genap dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.
Misalkan, B adalah himpunan kejadian terambil kartu berangka bukan genap. BB merupakan kejadian komplemen dari kejadian AA sehingga :
 P(B)=1−P(A)=1−715=815\begin{aligned}P(B)&=1-P(A)\\&=1-\frac{7}{15}\\&=\frac{8}{15}\\\end{aligned}

Frekuensi Harapan

Pernahkah kamu mengirimkan kupon undian? Dalam suatu undian, semakin banyak kupon undian yang kamu kirimkan,harapan kamu untuk memenangkan undian tersebut semakin besar. Harapan kamu untuk memenangkan undian di dalam matematika disebut frekuensi harapan. Frekuensi harapan suatu kejadian adalah harapan banyaknya muncul suatu kejadian dari sejumlah percobaan yang dilakukan (n)(n). Frekuensi harapan biasanya dilambangkan dengan FhF_h. Secara matematis ditulis :
Fh=P(K)×nF_h =P(K) ×n
dengan P(K)P(K) adalah peluang kejadian K dan n adalah banyaknya percobaan.
Contoh soal.
Sekeping uang logam dilemparkan sebanyak 3030 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya sisi angka.
Jawab :
Misalkan, KK adalah himpunan kejadian munculnya sisi angka sehingga P(K)=12P(K) =\dfrac{1}{2}
Banyaknya pelemparan (n)(n) adalah 3030 kali.
Jadi, frekuensi harapan munculnya sisi angka adalah
 Fh=P(K)×n=12×30 kali=15 kali\begin{aligned}F_h&=P(K)\times n\\&=\frac{1}{2}\times 30\,\text{kali}\\&=15\,\text{kali}\end{aligned}
Contoh soal.
Sebuah dadu dilempar sebanyak 100 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya :
a. muka dadu bertitik prima,
b. muka dadu bertitik kurang dari 33.
Jawab :
a. Misalkan, AA adalah himpunan kejadian munculnya muka dadu bertitik prima maka :
A=2,3,5A = {2, 3, 5} sehingga P(A)=36=12P(A) =\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}
Banyaknya pelemparan (n)(n) adalah 100100 kali.
Jadi, frekuensi harapan munculnya muka dadu bertitik prima adalah :
 Fh=P(A)×n=12×100 kali=50 kali\begin{aligned}F_h&=P(A)\times n\\&=\frac{1}{2}\times 100\ \text{kali}\\&=50\ \text{kali}\end{aligned}
b. Misalkan, B adalah himpunan kejadian munculnya muka dadu bertitik kurang dari 33 maka B=1,2B = {1, 2} sehingga P(B)=26=13P(B) =\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}
Banyaknya pelemparan (n)(n) adalah 100100 kali.
Jadi, frekuensi harapan munculnya muka dadu bertitik kurang dari 3 adalah
 Fh=P(B)×n=13×100 kali=1003 kali\begin{aligned}F_h&=P(B)\times n\\&=\frac{1}{3}\times 100\ \text{kali}\\&=\frac{100}{3}\ \text{kali}\end{aligned}
Contoh soal.
Di sebuah daerah, kemungkinan seorang anak terjangkit suatu penyakit adalah 0,050,05. Tentukan banyak anak yang terjangkit penyakit tersebut jika diambil sampel sebanyak 1.0001.000 anak.
Jawab :
Misalkan, KK adalah kejadian seorang anak terjangkit suatu penyakit maka P(K)=0,05P(K) = 0,05, dan n adalah banyak sampel anak maka n=3.000n = 3.000.
Jadi, banyak anak yang terjangkit penyakit tersebut adalah :
Fh=P(K)×n=0,05×3.000 anak=150 anak\begin{aligned}F_h&=P(K)\times n\\&=0,05\times 3.000\ \text{anak}\\&=150\ \text{anak}\end{aligned}

Penutup

Demikian materi tentang peluang. Jika ada saran, kritik, ataupun masukan silakan tuliskan di kolom komentar. Semoga bermanfaat. Terima kasih.

Mau donasi lewat mana?

Paypal
Bank Rakyat Indonesia - Aan Triono / Rek : 0357-01-132169-50-3
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.

Posting Komentar

Tinggalkan komentar sesuai topik tulisan, centang Notify me untuk mendapatkan notifikasi via email ketika komentar Anda dibalas Admin. Klik Publish untuk mengirimkan komentar Anda. Terima kasih.
Masukkan URL Gambar atau Potongan Kode, atau Quote, lalu klik tombol yang kamu inginkan untuk di-parse. Salin hasil parse lalu paste ke kolom komentar.


image quote pre code
https://blog.choipanwendy.com