PELUANG
Dasar-dasar Peluang
Dalam kehidupan sehari-sehari, kamu pasti sering mendengar pernyataan-pernyataan seperti berikut.
- Nanti sore mungkin akan turun hujan.
- Berdasarkan hasil perolehan suara, Joni berpeluang besar untuk menjadi ketua kelas.
- Peluang Indonesia untuk mengalahkan Brazil dalam pertandingan sepakbola sangat kecil.
Besar peluang ketiga pernyataan di atas dinyatakan dengan mungkin, berpeluang besar , dan berpeluang kecil. Di dalam matematika, besar peluang suatu kejadian/pernyataan dapat ditentukan secara eksak. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
Kejadian Acak
Coba kamu lemparkan sekeping uang logam. Dapatkah kamu memastikan sisi mana yang akan muncul? Tentu saja tidak, bukan? Kamu hanya mengetahui sisi yang mungkin muncul adalah salah satu dari sisi angka atau gambar. Pelemparan sekeping uang logam merupakan salah satu contoh kejadian acak. Untuk lebih memahami pengertian kejadian acak, lakukanlah kegiatan berikut.
- Siapkan sebuah dadu, sebuah wadah, lima bola merah, dan lima bola kuning.
- Lemparkan dadu tersebut. Dapatkah kamu menentukan muka dadu yang akan muncul?
- Masukan lima bola merah dan lima bola kuning ke dalam wadah. Aduklah bola-bola tersebut. Kemudian, tutup matamu dan ambillah satu bola. Dapatkah kamu menentukan warna bola yang terambil?
- Ulangi percobaan nomor 3. Kali ini, lakukan tanpa menutup mata. Dapatkah kamu menentukan warna bola yang terambil?
Kegiatan 1
Pada percobaan nomor 1, kamu tentu tidak tahu muka dadu mana yang akan muncul. Kamu hanya mengetahui bahwa muka dadu yang akan muncul adalah yang bertitik satu, dua, tiga, empat, lima, atau enam. Kejadian muka dadu mana yang akan muncul tidak dapat ditentukan sebelumnya. Inilah yang disebut kejadian acak.
Titik Sampel dan Ruang Sampel
Pada pelemparan sekeping uang logam, sisi yang mungkin muncul adalah sisi angka $(A)$ atau sisi gambar $(G)$. Jika sisi yang mungkin muncul ini dinyatakan dengan himpunan, misalnya $S$, menjadi $S$ = {$A,G$}. Kumpulan atau himpunan semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan disebut ruang sampel, dilambangkan dengan $S$. Adapun anggota-anggota dari S disebut titik sampel. Banyak anggota (titik sampel) suatu ruang sampel dinyatakan dengan $n(S)$. Cara menentukan ruang sampel dari titik sampel ada tiga, yaitu dengan mendaftar, tabel, dan diagram pohon.
a. Menentukan Ruang Sampel dengan Mendaftar
Misalkan, pada pelemparan dua keping uang logam sekaligus, sisi yang muncul adalah angka $(A)$ pada uang logam pertama dan gambar $(G)$ pada uang logam kedua, ditulis $AG$. Kejadian lain yang mungkin muncul pada pelemparan kedua uang logam tersebut adalah $AA, GA$, dan $GG.$ Jika ruang sampelnya dituliskan dengan cara mendaftar, hasilnya adalah $S$ = {$AA, AG, GA, GG$} dengan $n (S) = 4$.
b. Menentukan Ruang Sampel dengan Tabel
Selain dengan cara mendaftar, ruang sampel dapat ditentukan dengan cara membuat tabel. Perhatikan kembali pelemparan dua keping uang logam pada bagian a. Untuk menentukan ruang sampel dengan tabel, buatlah tabel dengan jumlah baris dan kolom yang diperlukan. Untuk percobaan pelemparan dua uang logam sekaligus, diperlukan tabel yang terdiri atas tiga kolom dan tiga baris. Isi kolom pertama dengan hasil yang mungkin muncul dari uang logam ke-1 dan isi baris kedua dengan hasil yang mungkin dari uang logam ke-2. Kemudian, lengkapi tabel yang kosong.
Tabel ruang sampel pelemparan dua logam adalah sebagai berikut.
| A | G | |
|---|---|---|
| A | AA | AG |
| G | GA | GG |
Jadi, ruang sampelnya adalah $S$ = {$AA, AG, GA, GG$} dengan $n(S) = 4$.
c. Menentukan Ruang Sampel dengan Diagram Pohon
Cara lain yang digunakan untuk menentukan ruang sampel adalah dengan diagram pohon. Cara ini merupakan cara yang paling mudah. Berikut adalah diagram pohon untuk pelemparan dua uang logam sekaligus.
Jadi, ruang sampelnya adalah $S$ = {$AA, AG, GA, GG$} dengan $n(S) = 4$.
Contoh soal.
Tentukan ruang sampel dari percobaan-percobaan berikut.
a. Melempar sebuah dadu.
b. Melempar tiga keping uang logam sekaligus.
c. Melempar dua buah dadu sekaligus.
Jawab:
a. Hasil yang mungkin muncul dari pelemparan sebuah dadu adalah muka dadu bertitik 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Jadi, ruang sampelnya adalah $S$ = {$1, 2, 3, 4, 5, 6$}.
b. Untuk mempermudah penentuan ruang sampel pelemparan tiga keping uang logam sekaligus, digunakan diagram pohon.
Jadi, ruang sampelnya adalah $S$ = {$AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG$}.
c. Untuk mempermudah penentuan ruang sampel pelemparan dua buah dadu
sekaligus, digunakan tabel.
Jadi, ruang sampelnya adalah ={$(1,1),(1,2),(1,3),...(6,6)$}.
Perhitungan Peluang
a. Pengertian Kejadian
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, ruang sampelnya adalah $S$ = {$1, 2, 3, 4, 5, 6$}, sedangkan titik-titik sampel percobaan tersebut adalah $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Adapun sebarang himpunan bagian dari ruang sampel disebut kejadian, biasanya dilambangkan dengan $K$. Misalnya, $K$ = {$2, 4, 6$} adalah kejadian munculnya muka dadu bertitik genap dengan $n(K) = 3$.
b. Perhitungan Peluang Suatu Kejadian dengan Frekuensi Relatif
Frekuensi relatif adalah perbandingan banyaknya kejadian yang diamati dengan banyaknya percobaan. Frekuensi relatif dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :
\(\begin{aligned}\text{Frekuensi relatif}=\frac{\text{Banyak kejadian K}}{\text{Banyak percobaan}}\end{aligned}\)
Ambillah sekeping uang logam, kemudian lemparkan sebanyak $30$ kali. Misalkan, hasil yang diperoleh adalah muncul sisi gambar sebanyak $13$ kali. Perbandingan banyak kejadian muncul sisi gambar dengan banyak pelemparan adalah $\dfrac{13}{30}$. Nilai inilah yang disebut frekuensi relatif.
Contoh soal.
Rino melempar dadu sebanyak $200$ kali. Hasilnya adalah muncul muka dadu sebagai
berikut.
a. Bertitik $1$ sebanyak $25$ kali.
b. Bertitik $3$ sebanyak $17$ kali.
c. Bertitik $6$ sebanyak $56$ kali.
Tentukan frekuensi relatif kejadian munculnya mata dadu bertitik $1, 3$, dan $6$.
Jawab:
Banyaknya percobaan adalah $200$.
a. Kejadian munculnya muka dadu bertitik $1$ sebanyak $25$ kali.
\(\begin{aligned}\text{Frekuensi relatif}&=\frac{\text{Banyak kejadian }}{\text{Banyak percobaan}}\\&=\frac{25}{200}\\&=\frac{1}{8}\\&=0,125\end{aligned}\)Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bertitik $1$ adalah $0,125$.
b. Kejadian munculnya muka dadu bertitik $3$ sebanyak $17$ kali.
\(\begin{aligned}\text{Frekuensi relatif}&=\frac{\text{Banyak kejadian }}{\text{Banyak percobaan}}\\&=\frac{17}{200}\\&=0,085\end{aligned}\)Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bertitik $3$ adalah $0,085$.
c. Kejadian munculnya muka dadu bertitik $6$ sebanyak $56$ kali.
\(\begin{aligned}\text{Frekuensi relatif}&=\frac{\text{Banyak kejadian }}{\text{Banyak percobaan}}\\&=\frac{56}{200}\\&=0,28\end{aligned}\)Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bertitik $6$ adalah $0,28$.
c. Perhitungan Peluang Suatu Kejadian dengan Rumus Peluang
Perhatikan kembali percobaan pelemparan sebuah dadu. Ruang sampelnya adalah $S$ = {$1, 2, 3, 4, 5, 6$} sehingga $n (S) = 6$. Misalkan, kejadian munculnya muka dadu yang bertitik prima dinyatakan dengan $K$ = {$2, 3, 5$} sehingga $n(K) = 3$. Peluang munculnya setiap titik sampel di dalam ruang sampel adalah sama, yaitu $\dfrac{1}{6}$.
Jadi, peluang munculnya muka dadu bertitik prima adalah :
\(\begin{aligned}P(K)&=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\\&=\frac{3}{6}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}\)Selain dengan cara tersebut, nilai $P(K)$ juga dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.
$S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ maka $n(S) = 6$.
$K = {2, 3, 5}$ maka $n(K) = 3$.
\(\begin{aligned}P(K)&=\frac{n(K)}{n(S)}\\&=\frac{3}{6}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}\)Uraian tersebut menjelaskan bahwa jika setiap titik sampel anggota ruang sampel $S$ memiliki peluang yang sama maka peluang kejadian $K$ yang memiliki anggota sebanyak $n(K)$ dinyatakan sebagai berikut.
\(\begin{aligned}P(K)&=\frac{n(K)}{n(S)}\\&\text{dengan}\ K\subset S\end{aligned}\)Contoh soal.
Siti melemparkan sebuah dadu. Tentukanlah peluang munculnya mata dadu
a. bertitik $3$,
b. bertitik lebih dari tiga,
c. bertitik $1, 2, 3, 4, 5, 6$,
d. bertitik lebih dari $6$.
Jawab:
Oleh karena ruang sampelnya adalah $S$ = {$1, 2, 3, 4, 5, 6$} maka $n(S) = 6$
a. Misalkan, $A$ adalah himpunan kejadian munculnya dadu bertitik $3$ maka $A = {3}$ sehingga $n(A) = 1$.
\(\begin{aligned}P(A)&=\frac{n(A)}{n(S)}\\&=\frac{1}{6}\end{aligned}\)Jadi, peluang munculnya mata dadu bertitik $3$ adalah $\dfrac{1}{6}$
b. Misalkan, $B$ adalah himpunan kejadian munculnya dadu bertitik lebih dari $3$ maka $B = {4, 5, 6}$ sehingga $n(B) = 3$.
\(\begin{aligned}P(B)&=\frac{n(B)}{n(S)}\\&=\frac{3}{6}\\&=\frac{1}{2}\\\end{aligned}\)Jadi, peluang munculnya mata dadu bertitik lebih dari $3$ adalah $\dfrac{1}{2}$.
c. Misalkan, $C$ adalah himpunan kejadian munculnya mata dadu bertitik $1, 2, 3, 4, 5$ dan $6$ maka $C$ = {$1, 2, 3, 4, 5, 6$} sehingga $n(C) = 6$.
\(\begin{aligned}P(C)&=\frac{n(C)}{n(S)}\\&=\frac{6}{6}\\&=1\end{aligned}\)Jadi, peluang munculnya mata dadu bertitik $1, 2, 3, 4, 5$ dan $6$ adalah $1$.
d. Misalkan, $D$ adalah himpunan kejadian munculnya mata dadu bertitik lebih dari $6$ maka $D = { }$ sehingga $n(D) = 0$.
Jadi, peluang munculnya mata dadu bertitik lebih dari $6$ adalah $0$.
Nilai Peluang
Perhatikan nilai-nilai yang diperoleh pada contoh soal di atas.. Nilai-nilai peluang yang diperoleh berkisar antara 0 sampai dengan 1. Secara matematis, ditulis :
$0 ≤ P(K) ≤ 1$
dengan $P(K)$ adalah peluang suatu kejadian $K$.
Jika nilai peluang suatu kejadian sama dengan nol, berarti kejadian tersebut mustahil atau tidak mungkin terjadi, misalnya peluang matahari terbit dari arah barat. Jika peluang suatu kejadian sama dengan 1, berarti kejadian tersebut pasti terjadi, misalnya peluang setiap manusia akan meninggal. Adapun jika peluang suatu kejadian bernilai antara 0 dan 1, berarti kejadian tersebut mungkin terjadi, misalnya peluang kamu untuk menjadi juara kelas. Jika $L$ merupakan kejadian komplemen dari kejadian $K$ maka peluang kejadian L adalah satu dikurangi peluang kejadian $K$. Secara matematis, ditulis :
$P(L) = 1 − P(K)$ atau $P(L) + P(K) = 1$
Misalnya, peluang Romi lulus ujian adalah 0,9 maka peluang Romi tidak lulus ujian adalah $1 − 0,9 = 0,1$.
Contoh soal.
Lima belas kartu diberi nomor 1 sampai dengan 15. Kartu-kartu tersebut dikocok, kemudian diambil satu kartu secara acak (kartu yang telah diambil kemudian dikembalikan lagi). Tentukan peluang terambil kartu berangka :
a. genap,
b. bukan genap.
Jawab:
Ruang sampelnya adalah $S$ = {$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15$}.
a. Misalkan, $A$ adalah himpunan kejadian terambil kartu berangka genap maka
$A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}$ sehingga $n(A) = 7$.
\(\begin{aligned}P(A)&=\frac{n(A)}{n(S)}\\&=\frac{7}{15}\\\end{aligned}\)Jadi, peluang terambil kartu berangka genap adalah $\dfrac{7}{15}$
b. Oleh karena kartu yang sudah diambil dikembalikan lagi, ruang sampelnya tetap, yaitu $S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}$.
Misalkan, $B$ adalah himpunan kejadian terambil kartu berangka bukan genap maka $B={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}$ sehingga $n(B) = 8$.
\(\begin{aligned}P(B)&=\frac{n(B)}{n(S)}\\&=\frac{8}{15}\\\end{aligned}\)Jadi, peluang terambil kartu berangka genap adalah $\dfrac{8}{15}$.
Selain dengan cara tersebut, peluang terambil kartu berangka bukan bilangan
genap dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.
Misalkan, B adalah himpunan kejadian terambil kartu berangka bukan genap. $B$ merupakan kejadian komplemen dari kejadian $A$ sehingga :
\(\begin{aligned}P(B)&=1-P(A)\\&=1-\frac{7}{15}\\&=\frac{8}{15}\\\end{aligned}\)Frekuensi Harapan
Pernahkah kamu mengirimkan kupon undian? Dalam suatu undian, semakin banyak kupon undian yang kamu kirimkan,harapan kamu untuk memenangkan undian tersebut semakin besar. Harapan kamu untuk memenangkan undian di dalam matematika disebut frekuensi harapan. Frekuensi harapan suatu kejadian adalah harapan banyaknya muncul suatu kejadian dari sejumlah percobaan yang dilakukan $(n)$. Frekuensi harapan biasanya dilambangkan dengan $F_h$. Secara matematis ditulis :
$F_h =P(K) ×n$
dengan $P(K)$ adalah peluang kejadian K dan n adalah banyaknya percobaan.
Contoh soal.
Sekeping uang logam dilemparkan sebanyak $30$ kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya sisi angka.
Jawab :
Misalkan, $K$ adalah himpunan kejadian munculnya sisi angka sehingga $P(K) =\dfrac{1}{2}$
Banyaknya pelemparan $(n)$ adalah $30$ kali.
Jadi, frekuensi harapan munculnya sisi angka adalah
\(\begin{aligned}F_h&=P(K)\times n\\&=\frac{1}{2}\times 30\,\text{kali}\\&=15\,\text{kali}\end{aligned}\)Contoh soal.
Sebuah dadu dilempar sebanyak 100 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya :
a. muka dadu bertitik prima,
b. muka dadu bertitik kurang dari $3$.
Jawab :
a. Misalkan, $A$ adalah himpunan kejadian munculnya muka dadu bertitik prima maka :
$A = {2, 3, 5}$ sehingga $P(A) =\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
Banyaknya pelemparan $(n)$ adalah $100$ kali.
Jadi, frekuensi harapan munculnya muka dadu bertitik prima adalah :
\(\begin{aligned}F_h&=P(A)\times n\\&=\frac{1}{2}\times 100\ \text{kali}\\&=50\ \text{kali}\end{aligned}\)b. Misalkan, B adalah himpunan kejadian munculnya muka dadu bertitik kurang dari $3$ maka $B = {1, 2}$ sehingga $P(B) =\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
Banyaknya pelemparan $(n)$ adalah $100$ kali.
Jadi, frekuensi harapan munculnya muka dadu bertitik kurang dari 3 adalah
\(\begin{aligned}F_h&=P(B)\times n\\&=\frac{1}{3}\times 100\ \text{kali}\\&=\frac{100}{3}\ \text{kali}\end{aligned}\)Contoh soal.
Di sebuah daerah, kemungkinan seorang anak terjangkit suatu penyakit adalah $0,05$. Tentukan banyak anak yang terjangkit penyakit tersebut jika diambil sampel sebanyak $1.000$ anak.
Jawab :
Misalkan, $K$ adalah kejadian seorang anak terjangkit suatu penyakit maka $P(K) = 0,05$, dan n adalah banyak sampel anak maka $n = 3.000$.
Jadi, banyak anak yang terjangkit penyakit tersebut adalah :
\(\begin{aligned}F_h&=P(K)\times n\\&=0,05\times 3.000\ \text{anak}\\&=150\ \text{anak}\end{aligned}\)Penutup
Demikian materi tentang peluang. Jika ada saran, kritik, ataupun masukan silakan tuliskan di kolom komentar. Semoga bermanfaat. Terima kasih.
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
Posting Komentar
image quote pre code