Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Pengantar
Pada postingan sebelumnya tentang persamaan kuadrat dan fungsi diskriminan, kita telah mempelajari bagaimana caranya mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna dan menggunakan rumus kuadrat atau rumus abc. Akar-akar persamaan kuadrat tersebut ada yang berbeda, sama, nyata atau pun khayal.
Perhatikan permasalahan berikut.
Misalkan terdapat dua bilangan genap berurutan yang hasil kalinya 224. Bagaimana caranya menentukan dua bilangan tersebut?
Untuk dapat menyelesaikan masalah tersebut, kita harus memodelkan masalah tersebut dalam bentuk model matematika. Jika bilangan yang pertama adalah $x$, bilangan kedua adalah $x+2$, sehingga model matematika yang terbentuk adalah $$x(x+2)=224\ \text{atau}\ x^2+2x-224=0$$
Ternyata diperoleh persamaan kuadrat $x^2+2x-=224=0$. Dengan menyelesaikan persaman kuadrat tersebut diperoleh nilai $x=14$.
Sekarang, misalkan akar-akar suatu persamaan kuadrat sudah diketahui, bagaiman caranya menyusun persamaan kuadrat tersebut? Simak uraian berikut ini.
Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar-akarnya
Bentuk persamaan kuadrat dapat disusun kembali jika akar-akarnya diketahui. Misalkan suatu persamaan kuadrat mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$, maka persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan dengan rumus berikut.
$$(x-x_1)(x-x_2)=0$$
Contoh.
Tentukan persamaan kuadrat jika diketahui akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.
\(\begin{array}{rcl}a. &-2\ \text{dan}\ 6\\b. &\dfrac{1}{3}\ \text{dan}\ \dfrac{1}{2}\end{array}\)
Jawab.
a. Diketahui $x_1=-2\ \text{dan}\ x_2=6$
\(\begin{array}{rcl}(x-x_1)(x-x_2)&=&0\\(x-(-2))(x-6)&=&0\\(x+2)(x-6)&=&0\\x^2-6x+2x-12&=&0\\x^2-4x-12&=&0\end{array}\)
Jadi persamaan kuadrat yang dimaksud adalah $x^2-4x-12=0$
b. Diketahui $x_1=\dfrac{1}{3}\ \text{dan}\ x_2=\dfrac{1}{2}$
\(\begin{array}{lcl}(x-x_1)(x-x_2)&=&0\\[12px](x-\dfrac{1}{3})(x-\dfrac{1}{2})&=&0\\[12px]x^2-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{6}&=&0\\[12px]x^2-\dfrac{5}{6}x+\dfrac{1}{6}&=&0\\[12px]6x^2-5x+1&=&0\end{array}\)
Jadi persamaan kuadrat yang dimaksud adalah $6x^2-5x+1=0$
Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Jumlah dan Hasil Kali Akar-akarnya
Suatu persamaan kuadrat dapat juga disusun kembali jika diketahui jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Misalnya suatu persamaan kuadrat mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$, maka : \[\begin{array}{lcl}(x-x_1)(x-x_2)&=&0\\[10px]x^2-x_1\ x-x_2\ x+x_1x_2&=&0\\[10px]x^2-(x_1+x_2)x+x_1\ x_2&=&0\end{array}\]
Jadi, jika $x_1+x_2$ menyatakan jumlah akar-akar dari persamaan kuadrat dan $x_1x_2$ menyatakan hasil kalinya maka persamaan kuadrat yang dimaksud dapat ditentukan dengan :
$$x^2-(x_1+x_2)x+x_1\ x_2=0$$
Nilai $x_1$ dan $x_2$ menurut rumus abc adalah :
$$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \text{dan}\ x_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Sehingga penjumlahan akar-akarnya adalah :
\(\begin{array}{rcl}x_1+x_2&=&\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ +\ \dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ &=&\dfrac{-2b}{2a}\\[12px]&=&\dfrac{-b}{a}\end{array}\)
Hasil kali kedua akarnya adalah :
\(\begin{array}{rcl}x_1\ x_2&=&\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\times\ \dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[12px] &=&\dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\[12px]&=&\dfrac{4ac}{4a^2}\\[12px]&=&\dfrac{c}{a}\end{array}\)
Dengan demikian, untuk persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ diperoleh :
$$x_1\ +\ x_2=\dfrac{-b}{a}\ \text{dan}\ x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$
Contoh.
1. Diketahui $x_1\ +\ x_2=7$ dan $x_1x_2=10$. Tentukan persamaan kuadratnya!
Jawab.
$x_1\ +\ x_2=7$ dan $x_1x_2=10$.
Persamaan kuadratnya adalah :
\(\begin{array}{lcr} x-(x_1+x_2)x+x_1x_2&=&0\\x^2-7x+10&=&0\end{array}\)
2. Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan $2x^2-4x-12=0$, tentukan nilai-nilai berikut ini.
a. $\alpha + \beta$
b. $\alpha \beta$
c. $\alpha \beta^2+\alpha^2\beta$
d. $\alpha^2+\beta^2$
Jawab.
\(\begin{array}{rcl}a.\ \alpha+\beta&=&\dfrac{-b}{a}\\[12pt]&=&\dfrac{-(-4)}{2}\\[12pt]&=&\dfrac{4}{2}\\[12pt]&=&2\end{array}\)
\(\begin{array}{rcl}b.\ \alpha\beta&=&\dfrac{c}{a}\\[12pt]&=&\dfrac{(-12)}{2}\\[12pt]&=&-6\end{array}\)
\(\begin{array}{rcl}c.\ \alpha\beta^2+\alpha^2\beta&=&\alpha\beta(\alpha+\beta)\\&=&(-6)\times 2\\&=&-12\end{array}\)
\(\begin{array}{rcl}d.\ \alpha^2+\beta^2&=&(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\\&=&2^2-2(-6)\\&=&4+12\\&=&16\end{array}\)
3. Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan $2x^2-14x+12=0$, tentukan persamaan kuadrat baru yang mempunyai akar-akar $\alpha+2$ dan $\beta+2$
Jawab.
Dari persamaan $2x^2-14x+12=0$, diperoleh :
$a=2, b=-14,\ \text{dan}\ c=12$
\(\begin{array}{rcl} \alpha+\beta&=&\dfrac{-b}{a}\\[12pt]&=&\dfrac{-(-14)}{2}\\[12pt]&=&\dfrac{14}{2}\\[12pt]&=&7\end{array}\)
\(\begin{array}{rcl}b.\ \alpha\beta&=&\dfrac{c}{a}\\[12pt]&=&\dfrac{12}{2}\\[12pt]&=&6\end{array}\)
Jumlah dan hasil kali akar-akar $\alpha+2$ dan $\beta+2$ adalah sebagai berikut.
$(\alpha+2)+(\beta+2)=(\alpha+\beta)+4=7+4=11$
$(\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=6+2\times 7+4=24$
Jadi diperoleh persamaan kuadrat baru sebagai berikut.
\(\begin{array}{rcl} x^2-[(\alpha+2)+(\beta+2)]x+(\alpha+2)(\beta+2)&=&0\\x^2-11x+24&=&0\end{array}\)
Menyelesaikan Soal-soal yang Berkaitan Dengan Persamaan Kuadrat
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat. Dengan menggunakan konsep persamaan kuadrat, permasalahan tersebut akan mudah diatasi.
Soal-soal yang menyangkut persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan langkah-langkah sebagai berikut.
- Salah satu nilai yang belum diketahui dimisalkan dengan $x$ atau variabel yang lain, sedangkan yang lainnya dinyatakan dalam kalimat terbuka yang memuat $x$.
- Bentuklah persamaan dalam $x$, kemudian selesaikan.
- Tentukan penyelesaian yang memenuhi.
Contoh.
1. Selisih dua bilangan cacah adalah 2, sedangkan hasil kalinya 168. Tentukan kedua bilangan itu.
Jawab.
Misalkan bilangan pertama = x, dan bilangan kedua =x-2
\(\begin{array}{rcl} x(x-2)&=&168\\x^2-2x&=&168\\x^2-2x-168&=&0\\(x+12)(x-14)&=&0\\x+12&=&0\ \text{atau}\ x-14=0\\x&=&-12\ \text{atau}\ x=14\end{array}\)
Untuk $x=-12$ tidak memenuhi sebab $-12$ bukan bilangan cacah. Jadi kedua bilangan itu adalah 12 dan 14.
2. Kebun Pak Harun berbentuk persegi panjang. Panjang kebun tersebut 3 m lebih dari lebarnya. Jika luas kebun tersebut adalah $108 m^2$, tentukan kelilingnya.
Jawab.
Misalnya panjang kebun = p, maka lebar kebun = p-3
\(\begin{array}{rcl} \text{Luas}&=&p\times l\\108&=&p(p-3)\\108&=&p^2-3p\\p^2-3p-108&=&0\\(p-12)(p+9)&=&0\\p=12&=&\text{atau}\ p=-9(\text{tidak mungkin})\\p&=&12 m\\l&=&12-3\\&=&9m\end{array}\)
\(\begin{array}{rcl} \text{Keliling}&=&2(p+l)\\&=&2(12+9)\\&=&42\end{array}\)
Jadi, keliling kebun Pak Harun adalah 42 meter.
Evaluasi
Setelah selesai mempelajari materi persamaan kuadrat, fungsi diskriminan, dan menyusun persamaan kuadrat, maka saatnya dilakukan evaluasi berupa kuis yang berisi soal-soal tentang persamaan kuadrat. Hal ini dilakukan untuk mengukur pemahaman tentang materi tersebut. Silakan klik tombol berikut untuk mengerjakannya.
Penutup
Demikian materi tentang menyusun persamaan kuadrat yang diajarkan di kelas IX semester ganjil tingkat SMP/MTs. Apabila ada saran silakan tuliskan di kolom komentar. Semoga bermanfaat. Terima kasih.
Traktir saya minum kopi dengan cara memberi donasi. klik icon panah di atas. Terima kasih.
Posting Komentar
image quote pre code